戻る
例題集 / 機械 / 伝熱工学（V-A-4 熱流体） / ふく射伝熱
ふく射伝熱(1) ふく射の基本法則
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の$(\ 1\ )\sim(\ 10\ )$に当てはまる語句を答えよ．
熱ふく射は，電磁場の一部であり，すべての温度ある物体から発散される．
単位表面積から単位時間当たりに放出されるエネルギーを$(\ \ 1\ \ )$$E\rm{ [W/m^2]}$（あるいは放射能）と呼ぶ．
ふく射は，さまざまな波長の電磁場からなり，単位波長幅$\rm{d\lambda}$当たりの放射能$E_\lambda\rm{[W/(m^2\cdot\mu m)]}$を$(\ \ 2\ \ )$(あるいは単色放射能)と呼ぶ．
したがって，$E$は$E_\lambda$を全波長について積分したものであるので，
\[E=(\ \ 3\ \ )\hspace{30px}\cdots(a)\]
と表現される．
一般に，$E$あるいは$E_\lambda$は，物体表面の温度$T[\rm{K}]$と性状によって変化する．
放出される最大の放射能を$(\ \ 4\ \ )$$E_b[\rm{W/m^2}]$と呼び，それに対応する$(\ \ 2\ \ )$を$(\ \ 5\ \ )$$E_{b\lambda} [\rm{W/(\rm{m^2}\cdot\rm{\mu}m)}]$と呼ぶ．
また，そのような状態にある物体を$(\ \ 6\ \ )$と呼ぶ．
$E_{b\lambda}$は，次式で表現される．
\[E_{b\lambda}=\frac{c_1}{\lambda ^5\left[\exp\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1\right]}\hspace{30px}
\cdots(b)\]
（ここで，$c_1=2\pi c_0^2/h$ ，$c_2=c_0h/k$ である．[$c_0$:光速度，$h$:プランク定数，$k$:ボルツマン定数]である．）
これを$(\ \ 7\ \ )$の法則と呼ぶ．
式$(b)$を全波長にわたって積分し，次のステファン$\cdot$ボルツマンの法則を得る．
\[E_b(T)=(\ \ 8\ \ )\hspace{30px}\cdots (c)\]
ここで，$\sigma=(\ \ 9\ \ )\rm{[W/(m^2\cdot K^4)]}$をステファン$\cdot$ボルツマン定数と呼ぶ．
$(\ \ 5\ \ )$のスペクトル分布曲線において最大値を与える波長$\lambda_{max}$は，物体の温度$T[\rm{K}]$に反比例する．
このことは，式$(b)$より
\[\frac{dE_{b\lambda}}{d\lambda}=0\]
となるように，$E_{b\lambda}$の最大値を見つけることで与えられ，
\[\lambda_{max}T=0.002897\,\rm{mK}\]
となる．この関係を$(\ \ 10\ \ )$と呼ぶ．
解答例・解説
$(1)$
全ふく射熱流束
$(2)$
単色ふく射熱流束
$(3)$
$\int_0^\infty E_{\lambda}d\lambda$
$(4)$
黒体ふく射熱流束
$(5)$
単体黒体ふく射熱流束
$(6)$
黒体
$(7)$
プランク
$(8)$
$\sigma T$
$(9)$
$5.67\times10^{-8}$
$(10)$
ウィーンの変位則
ふく射伝熱(2) 黒体全ふく射と太陽系
適用レベル
難易度: ★★★
太陽から受ける地球大気表面の熱流束を太陽定数と呼ぶ．
太陽定数$E_0= 1370 \,\rm{W/m^2}$，太陽の半径$R_s=6.96×10^8 \,\rm{m}$，太陽と地球の平均距離$L=1.5×10^{11} \,\rm{m}$としたとき，太陽の表面温度$T_s$を求めよ．
ただし，太陽を黒体とみなせ．
解答例・解説
ステファン--ボルツマンの法則により，太陽表面の黒体ふく射熱流束は，
\[E_s=\sigma T_s^4\hspace{30px}\cdots(1)\]
(ここで，$\sigma=5.67×10^{-8} \,\rm{W/(m^2K^4)}$はステファン•ボルツマン定数)
太陽表面を球体①とし，地球公転軌道は太陽を中心とした球体②に含まれるものとする．
球体①と球体②におけるふく射エネルギー(ふく射熱流束×面積)は保存されるので，
\[E_s \left(4\pi R_s^2\right)= E_s \left(4\pi L^2\right)\]
\[E_sR_s^2=E_0L^2\hspace{30px}\cdots(2)\]
式$(2)$に式$(1)$を代入して，
\[\sigma T_s^4 R_s^2= E_0 L^2\]
\[
\begin{align}T_s&=\left(\frac{E_0 L^2}{\sigma R_s^2}\right)^{\frac{1}{4}}\\
&=\left\{\frac{1370\times\left(1.5\times10^{11}\right)^2}{5.67\times10^{-8}\times\left(6.96\times10^8\right)^2}\right\}^{\frac{1}{4}}\\
&=5.79\times10^3\,\rm{K}\end{align}
\]
ふく射伝熱(3) ふく射率と全ふく射熱流束
理解レベル
難易度: ★★
$800^\circ\rm{C}$に加熱された鉄板からの$(\ 1\ )$ふく射熱流束を求めよ．
ただし，鉄板の表面の全ふく射率を$0.25$とする．
また，この鉄板の表面に耐熱黒ラッカーを塗った場合の$(\ 2\ )$ふく射熱流束を求めよ．
ただし，耐熱黒ラッカーの全ふく射率を$0.9$とし，透過はないものとする．
解答例・解説
$(1)$
表面のふく射熱流束$E$は，
\[\begin{align}E&=\varepsilon\sigma T^4\\
&=0.25\times5.67\times10^{-8}\times(800+273.15)^4\\
&=1.88\times 10^4 \,\rm{W/m^2}
\end{align}\]
$(2)$
表面のふく射熱流束$E$は，
\[\begin{align}E&=\varepsilon\sigma T^4\\
&=0.9\times 5.67\times 10^{-8}\times (800+273.15) ^4\\
&=6.77\times 10^4 \,\rm{W/m^2}
\end{align}\]
ふく射伝熱(4) 平行平板間のふく射
適用レベル
難易度: ★★★
温度$T_1=700 \,\rm{K}$，ふく射率$\varepsilon_1=0.4$のステンレス製の平面壁と，温度$T_2=350\,\rm{ K}$，ふく射率$ε_2=0.9$のガラス製の平面壁が平行に置かれている．
ステンレス壁からガラス壁へのふく射熱流束を求めよ．
ただし，ふく射率と吸収率は等しいものとし，各壁の間隔は比較的小さいものとする．
解答例・解説
図を参考に考える．
ふく射率と吸収率はともに$\varepsilon$であり透過率は$0$であるから，反射率は$1-\varepsilon$となる．
ステンレス壁から放出される熱流束$q_1$は，それ自体からのふく射熱流束$E_1$とガラス壁からの熱流束$q_2$を反射した分の合計となるので，
\[\begin{align}
q_1&= E_1+ (1−\varepsilon_1)q_2\\
&= \varepsilon_1\sigma T_1^ 4+ (1−\varepsilon_1)q_2 \hspace{30px}\cdots(1)
\end{align}\]
同様にガラス壁から放出される熱流束$q_2$は，
\[\begin{align}
q_2&= E_2+ (1−\varepsilon_2)q_1\\
&= \varepsilon_2\sigma T_2^4+ (1−ε_2)q_1\hspace{30px}\cdots(2)
\end{align}\]
式$(1)$と式$(2)$を連立して，$q_1$ ，$q_2$について解くと，
\[
q_1=\frac{E_1+(1-\varepsilon_1)E_2}{1-(1-\varepsilon_1)(1-\varepsilon_2)}
\]
\[
q_2=\frac{E_2+(1-\varepsilon_2)E_1}{1-(1-\varepsilon_1)(1-\varepsilon_2)}
\]
以上により，ステンレス壁からガラス壁へ伝わる正味の熱流束は，$q_1$と$q_2$の差に等しいので，
\[\begin{align}
q&= q_1−q_2\\
&=\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2\sigma(T_1^4-T_2^4)}{1-(1-\varepsilon_1)(1-\varepsilon_2)}\\
&=\frac{\sigma(T_1^4-T_2^4)}{\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{1}{\varepsilon_2}-1}\\
&=\frac{5.67\times10^{-8}(700^4-350^4)}{\frac{1}{0.4}+\frac{1}{0.9}-1}\\
&=4.89\times10^3\,\rm{W/m^2}\\
&=4.89\,\rm{kW/m^2}
\end{align}\]
%=image:/media/2015/01/15/142125755345395600.png:
ふく射伝熱(5) 複雑な物体間のふく射と形態係数
適用レベル
難易度: ★★★
図に示すように，火床の側に人が立っている．
複雑な火床の形態を，平面積$1.5\,\rm{ m^2}$，平均温度$1500\,\rm{ K}$で代表させ，一方，火床に面した人体の形態を平面積$0.8\,\rm{m^2}$，体表温度$310\,\rm{ K}$で代表させる．
火床の面心$\rm{a}$と人体の面心$\rm{b}$との距離は$1.8 \,\rm{m}$， 線分$\rm{ab}$と火床面との角度は$35^\circ$，線分$\rm{ab}$と人体面との角度は$55^\circ$であるとする．
人体は裸体でふく射率$\varepsilon=0.95$であり，火床のふく射率と等しいとしたとき，次の問いに答えよ．
ただし，二面間の距離に比べて伝熱面積は十分小さく，また反射率も小さいため，反射による再入射は無視できるものとする．
$(1)$
人体が火床から受ける熱量$Q$を概算せよ．
$(2)$
火床からみた人体の形態係数$F_{12}$を求めよ．
%=image:/media/2015/01/15/142125757222235400.png:
解答例・解説
$(1)$
火床と人体の形は複雑であるので，適当な平均値を用いた簡易解法を試みる．
\[r_m=1.8 \,{\rm{m}},\ \ \theta_{1m}=90-35=55^\circ, \ \ \theta_{2m}=90-55=35^\circ, \]
\[
A_1=1.5 \,\rm{m^2}, \ \ T_1=1500 \,\rm{K}, \ \ A_2=0.8 \,\rm{m^2}, \ \ T_2=310 \,\rm{K}\]
ふく射率$\varepsilon_1$の表面$A_1$から放射され，表面$A_2$に入射する放射エネルギーは，表面$A_2$の吸収率$\varepsilon_2$であるから，
\[Q_{12}=\frac{\varepsilon_1\sigma T_1^4\cos\theta_{1m}\cos\theta_{2m}}{\pi r_m^2}A_1A_2\varepsilon_2\]
同様に，表面$A_2$から放射され，表面$A_1$に入射する放射エネルギーは，
\[Q_{21}=\frac{\varepsilon_2\sigma T_2^4\cos\theta_{2m}\cos\theta_{1m}}{\pi r_m^2}A_2A_1\varepsilon_1\]
したがって，表面$A_1$から表面$A_2 $への正味の熱量は，
\[\begin{align}Q&=Q_{12}-Q_{21}\\
&=\frac{\sigma( T_1^4ーT_2^4)\varepsilon_1\varepsilon_2\cos\theta_{1m}\cos\theta_{2m}}{\pi r_m^2}A_1A_2\\
&=\frac{5.67\times10^{-8}\times(1500^4ー10^4)\times0.95^2\times\cos55\times
\cos35}{\pi\times1.8^2}\\
&=11.9\times 10^3\,\rm{W}\\
&=11.9\,\rm{kW}\end{align}\]
$(2)$
形態係数の考え方(表面$A_i$より放射されるふく射エネルギーのうち，表面$A_j$ に届くものの割合を形態係数$F_{ij}$と定義する)より，表面$A_2$が吸収するエネルギーは，他方，表面$A_1$が吸収するエネルギーは$(\varepsilon_1\sigma T_1^4)A_1F_{12}\varepsilon_2$となる．
したがって，熱交換量は，
\[Q=(\varepsilon_1\sigma T_1^4)A_1F_{12}\varepsilon_2-(\varepsilon_2\sigma T_2^4)A_2F_{21}\varepsilon_1\]
形態係数の対象性から，$A_1F_{12}=A_2F_{21}$が成立するので，
\[Q=\sigma (T_1^4ーT_2^4)\varepsilon_1\varepsilon_2A_1F_{12}\]
よって，問$(1)$の表現との比較から，
\begin{align}F_{12}&=\frac{\cos\theta_{1m}\cos\theta_{2m}}{\pi r_m^2}A_2\\
&=\frac{\cos55\times\cos35}{\pi\times1.8^2}\times0.8\\
&=3.69\times10^2\end{align}