理解レベル
難易度: ★★
問$1$の$3$自由度系において，ダンカレーの式から$1$次固有振動数の近似解を求め，厳密解との誤差を求めよ．
ダンカレーの式 : $\frac{1}{\omega_1^2} \fallingdotseq
\frac{1}{\omega_{11}^2}+\frac{1}{\omega_{22}^2}+\frac{1}{\omega_{33}^2}+ \cdots$
影響係数 : $a_{11}=a_{33}=\frac{3}{4k}, \ a_{22}=\frac{1}{k}$
\[
\frac{1}{\omega _{11}^2}
=ma_{11}
= m \times \frac{3}{4k}
= \frac{3m}{4k}
= \frac{1}{\omega _{33}^2}
\]
\[
\frac{1}{\omega _{22}^2}
=ma_{22}
= \frac{m}{k}
\]
\[
\frac{1}{\omega _{1}^2}
= \frac{3m}{4k} \times 2 + \frac{m}{k}
= \frac{3m}{2k} + \frac{m}{k}
= \frac{5m}{2k}
\]
\[
\begin{align}
\omega _{1}
&=\sqrt {\frac{2k}{5m}}\\
&=\sqrt {\frac{2 \times 50 \times 10^3 \ \rm{N/m}}{5 \times 3 \ \rm{kg}}}\\
&=81.64 \ \rm{rad/s}
\end{align}
\]
\[
\therefore
\omega _{1}= 81.6 \ \rm{rad/s}
\]
\[
\frac{81.64 \ \rm{rad/s}-98.80 \ \rm{rad/s}}{98.80 \ \rm{rad/s}}=-0.1736
\]
\[
\therefore
誤差 : -17.4 \%
\]
