例題集

剛体の運動(2)

適用レベル   難易度: ★★★
図に示す$4$個の円孔を有する厚さ$20\ \rm{mm}$の円形鋼板(密度$7800\ \rm{kg/m^3}$)の,面に垂直な中心軸まわりの慣性モーメントはいくらか. %=image:/media/2015/01/22/142186196380841300.png:
\[\left\{ \begin{array}{l} \rho = 7800\ \rm{kg/m^3} \\ R=0.2\ \rm{m}\\ r=0.04\ \rm{m}\\ t=0.02\ \rm{m}\\ e=0.1\ \rm{m} \end{array} \right. \] 円板の慣性モーメント$J_z$ \[\begin{align} J_z=M\cdot\frac{R^2}{2} &=\pi R^2 \rho t \frac{R^2}{2}\\ &=\pi \times \left(0.2\,\rm{m} \right)^2\times7800\,\rm{kg/m^3} \times0.02\,\rm{m}\times\frac{\left(0.2\,\rm{m} \right)^2}{2}\\ &=0.3920\ \kgsqm \end{align}\] 円孔の慣性モーメント$J_e$, 平行軸の定理より, \[\begin{align} J_e=m\cdot\frac{r^2}{2}+m\cdot e^2 &=m\left( \frac{r^2}{2}+e^2\right)\\ &=\pi r^2 \rho t \left(\frac{r^2}{2}+e^2 \right) \\ &=\pi \times \left(0.04\,\rm{m} \right)^2\times7800\,\rm{kg/m^3}\\ &\hspace{50px}\times0.02\,\rm{m}\times\left\{\frac{\left(0.04\,\rm{m} \right)^2}{2}+\left(0.1\,\rm{m} \right)^2 \right\}\\ &=0.008468\ \kgsqm \end{align}\] 以上より,$4$個の円孔を有する円板の慣性モーメント$J$ \[\begin{align} J &=J_z-4J_e\\ &=0.3920\,\kgsqm-4\times0.008468\,\kgsqm\\ &=0.3581\,\kgsqm \end{align}\] \[ \therefore J=0.358\, \kgsqm \]