% $a$, $b$, $c$ を定数, $a\ne 0$ としたとき, 関数 $y=f(x)$ が $x$ の2次式 % \begin{align*} y=ax^2+bx+c \end{align*} % で表される関数を\ommindex{2次関数}{にじかんすう}という。 $y=ax^2$ のグラフは, 原点を\ommindex{頂点}{ちょうてん}とする \ommindex{放物線}{ほうぶつせん}である。 $y=ax^2+bx+c$ は % \begin{align*} y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{align*} % と変形することができる。 これを $y=ax^2+bx+c$ の\ommindex{標準形}{ひょうじゅんけい}という。 したがって, $y=ax^2+bx+c$ のグラフは, $y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{b}{2a}$, $y$ 軸方向に $-\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ だけ平行移動したものになる。 とくに, $y=ax^2+bx+c$ のグラフの頂点の座標は % \begin{align*} \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \end{align*} % である。 %

% 一般に, 方程式 $f(x)=0$ が実数解 $x=\alpha$ をもつとき, 点 $(\alpha,0)$ は $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点である。 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数は, 判別式 $D=b^2-4ac$ によって決まるから, 2次関数のグラフと $x$ 軸との共有点は次のように分類される。 % \begin{align*} \begin{array}{|c||c|c|} \hline & ax^2+bx+c=0 & y=ax^2+bx+c \rule[-1zh]{0zw}{3zh} \\ \hline D>0 & \mbox{2つの異なる実数} & \mbox{$x$ 軸と2点で交わる} \rule[-1zh]{0zw}{3zh} \\ \hline D=0 & \mbox{1つの実数解 (2重解)} & \mbox{$x$ 軸と接する} \rule[-1zh]{0zw}{3zh} \\ \hline D<0 & \mbox{虚数解} & \mbox{$x$ 軸と共有点をもたない} \rule[-1zh]{0zw}{3zh} \\ \hline \end{array} \end{align*} % %

% 一般に, 不等式 $f(x)<0$ の解は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸より上にある $x$ の範囲であり, 不等式 $f(x)>0$ の解は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸より下にある $x$ の範囲である。 2次不等式の解は2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフによって解くことができる。 ここでは $a>0$ のときだけを扱う。 (1) $D>0$ のとき $y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と異なる2点で交わり, 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は2つの異なる実数解 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha<\beta$) をもつ。 したがって, 不等式の解は次のようになる。 % \begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline 不等式 & 解 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c>0 & x<\alpha, \quad x>\beta \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\ge 0 & x\le\alpha, \quad x\ge \beta \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c<0 & \alpha<x<\beta \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\le 0 & \alpha\le x \le\beta \\[0.5em] \hline \end{array} \end{align*} (2) $D=0$ のとき $y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と2点で接し, 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は2重解 $\alpha$ をもつ。 したがって, 不等式の解は次のようになる。 % \begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline 不等式 & 解 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c>0 & x\ne\alpha \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\ge 0 & すべての実数 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c<0 & 解なし \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\le 0 & x=\alpha \\[0.5em] \hline \end{array} \end{align*} (3) $D<0$ のとき $y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と共有点をもたず, 任意の $x$ に対して $ax^2+bx+c>0$ である。 したがって, 不等式の解は次のようになる。 % \begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline 不等式 & 解 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c>0 & すべての実数 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\ge 0 & すべての実数 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c<0 & 解なし \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\le 0 & 解なし \\[0.5em] \hline \end{array} \end{align*}