行列の基本変形

% 行列に対する次の変形を \ommindex{行の基本変形}{ぎょうのきほんへんけい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 2 つの行を入れ替える。 \item[(2)] 1 つの行を $k$ 倍する。 ただし $k\ne 0$ とする。 \item[(3)] ある行に他の行の $t$ 倍を加える。 \end{enumerate} % また, 次の変形を\ommindex{列の基本変形}{れつのきほんへんけい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 2 つの列を入れ替える。 \item[(2)] 1 つの列を $k$ 倍する。 ただし $k\ne 0$ とする。 \item[(3)] ある列に他の列の $t$ 倍を加える。 \end{enumerate} %

% 単位行列に１回だけ基本変形を施して得られる行列を \ommindex{基本行列}{きほんぎょうれつ}という。 % 3 次の基本行列には次のようなものである。 % \begin{eqnarray*} F_1 &= \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ F_2 &= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ F_3 &= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ t & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*} % すべての行列は, 何回かの基本変形を行って, 次のような形に変形することができる。 ただし, $E_r$ は $r$ 次単位行列, $O_{k,l}$ は $k\times l$ 型零行列である。 行列を区切る線は, 見やすくするために便宜上入れたものであり, 意味はない。 % \begin{align*} \left(\begin{array}{c|c} E_r & O_{r,n-r} \\ \hline O_{m-r,r} & O_{m-r,n-r} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc|ccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right) \end{align*} %

% 基本変形と基本行列の間には次の関係がある。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 行列 $A$ に1回だけ行の基本変形を施して $B$ となるとき, % \begin{align*} FA=B \end{align*} % となる基本行列 $F$ がある。 \item[(2)] また, 行列 $A$ に1回だけ列の基本変形を施して $B$ となるとき, % \begin{align*} AF=B \end{align*} % となる基本行列 $F$ がある。 \end{enumerate} % 基本行列は正則であり, 正方行列の正則性は基本変形によって変化しない。 すなわち, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \mbox{$A$ は正則} \iff \mbox{$A$ は単位行列に基本変形できる} \end{align*} %