% $\mathbb{E}$, $\widetilde{\mathbb{E}}$ をベクトル空間 $V$ の2つの基底とし, $\mathbb{E}$ から $\widetilde{\mathbb{E}}$ への 基底の変換行列を $P$ とする。 また, $\varphi$ を $V$ の線形変換とし, 基底 $\mathbb{E}$ に関する表現行列を $A$ とする。 このとき, を $V$ の線形変換とし, 基底 $\mathbb{E}$ に関する $\varphi$ の表現行列を $B$ とすれば, % \begin{align*} B=P^{-1}AP \end{align*} % が成り立つ。 一般に, 正方行列 $A$ に対して, $B=P^{-1}AP$ が対角行列になるような 正則行列 $P$ が存在するとき, $A$ は\ommindex{対角化可能}{たいかくかかのう}であるといい, そのとき, 正則行列 $P$ を $A$ の\ommindex{対角化行列}{たいかくかぎょうれつ}という。 対角化行列 $P$ および対角行列 $B$ を求めることを, 行列 $A$ を\ommindex{対角化}{たいかくか}するという。 対角化するということは, 線形変換 $\varphi$ の表現行列が対角行列となるような 基底を求めることでもある。 すべての行列が対角化可能であるわけではない。 しかし, 対称行列 $A$ は対角化可能で, 対角化行列として直交行列を選ぶことができる。 %

% $n$ 次正方行列 $A$ に対して % \begin{align*} A\vt{x}=\lambda\vt{x}, \quad \vt{x}\ne \vt{0} \end{align*} % を満たすスカラー $\lambda$ とベクトル $\vt{x}$ があるとき, $\lambda$ を $A$ の\ommindex{固有値}{こゆうち}, $\vt{x}$ を固有値 $\lambda$ に属する \ommindex{固有ベクトル}{こゆうべくとる}という。 $\lambda$ が $A$ の固有値であるとき, % \begin{align*} \{\vt{x}\,|\, A\vt{x}=\lambda\vt{x}\} \end{align*} % はベクトル空間となる。 これを固有値 $\lambda$ に属する \ommindex{固有空間}{こゆうくうかん}という。 固有空間は, 固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトル全体に 零ベクトルを加えたものである。 条件 \maru{1} を満たす $\vt{x}$ は, 斉次連立1次方程式 % \begin{align*} (\lambda E-A)\vt{x}=\vt{0} \end{align*} % の自明でない解である。 自明でない解が存在するための必要十分条件は % \begin{align*} \left|\lambda E-A\right|=0 \end{align*} % となることである。 この方程式を $A$ の \ommindex{固有方程式}{こゆうほうていしき}という。 行列 $A$ が $n$ 次正方行列であるとき, 固有方程式は $\lambda$ についての $n$ 次方程式となるから, 重複も含めて $n$ 個の解 $\lambda_i$ $(i=1,2,\cdots, k)$ がある。 $\vt{p}_i$ を固有値 $\lambda_i$ に属する固有ベクトルとする。 このとき, $\{\vt{p}_1, \vt{p}_2,\ldots, \vt{p}_n\}$ が線形独立であるように 選ぶことができれば, % \begin{align*} P=\left(\begin{array}{cccc} \vt{p}_1 & \vt{p}_2 & \ldots & \vt{p}_n \end{array}\right) \end{align*} % とおくと, % \begin{align*} P^{-1}AP = \left(\begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right) \end{align*} % となる。 したがって, 行列 $A$ は対角化可能である。 とくに, $A$ が実対称行列であるとき, $A$ は対角化可能であり, $P$ として直交行列を選ぶことができる。 %