数列
%
一定の規則にしたがって並べられた数の列
%
\begin{align*}
a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots
\end{align*}
%
を\ommindex{数列}といい,
$\left\{a_n\right\}$ と表す。
数列に含まれる1つ1つの数を
\ommindex{項}{こう}といい,
とくに第1項 $a_1$ を
\ommindex{初項}{しょこう}という。
数列の第 $n$ 項を $n$ の式で表したものを
\ommindex{一般項}{いっぱんこう}という。
数列には,
項の数が有限個である
\ommindex{有限数列}{ゆうげんすうれつ}と,
無限にたくさんの項を含む
\ommindex{無限数列}{むげんすうれつ}がある。
%
等差数列
%
数列のうち,
%
\begin{align*}
a,\,a+d,\,a+2d,\ldots
\end{align*}
%
のように,
ある項に一定の数 $d$ を加えて次の項が作られているものを
\ommindex{等差数列}{とうさすうれつ}といい,
$d$ をその\ommindex{公差}{こうさ}という。
初項が $a$,
公差が $d$ である等差数列の一般項は
%
\begin{align*}
a_n=a+(n-1)d
\end{align*}
%
となる。
また,
等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすれば,
%
\begin{align*}
S_n
&=
\frac{n(a_1+a_n)}{2}
\\
&=
\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}
\end{align*}
%
となる。
これを\ommindex{等差数列の和}{とうさすうれつのわ}の公式という。
%
等比数列
%
数列のうち,
%
\begin{align*}
a,\,ar,\,ar^2,\ldots
\end{align*}
%
のように,
ある項に一定の数 $r$ をかけて次の項が作られているものを
\ommindex{等比数列}{とうさすうれつ}といい,
$r$ をその\ommindex{公比}{こうひ}という。
初項が $a$,
公比が $r$ である等差数列の一般項は
%
\begin{align*}
a_n=a\,r^{n-1}
\end{align*}
%
となる。
また,
$r\ne 1$ のとき,
等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすれば,
%
\begin{align*}
S_n
&=
\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}
=
\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}
\end{align*}
%
となる。
これを\ommindex{等比数列の和}{とうひすうれつのわ}の公式という。
%
数列の和
%
数列 $\left\{a_n\right\}$ の項の和を
%
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n-1}a_k
=
a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n
\end{align*}
%
と表す。
左辺は,
$a_k$ の $k$ に $1$ から $n$ までの整数を代入したものを
すべて加えて得られる結果を表す記号である。
$\sum$ を\ommindex{総和の記号}{そうわのきごう}
または\ommindex{シグマ記号}{しぐまきごう}という。
総和の記号は次の性質をもつ。
ただし,
$c$ は定数である。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\displaystyle
\sum_{k=1}^{n}\left(a_k+b_k\right)
=
\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$
\item[(2)]
$\displaystyle
\sum_{k=1}^{n}c\,a_k
=
c\sum_{k=1}^{n}a_k$
\item[(3)]
$\displaystyle
\sum_{k=1}^{n}c
=
nc$
\end{enumerate}
%
また,
この記号を用いると,
次のようにして
\ommindex{数列の和}{すうれつのわ}の公式を
表現することができる。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$
\item[(2)]
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
\item[(3)]
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
\end{enumerate}
%
%
漸化式
%
数列の隣り合ういくつかの項の間に成り立つ関係式を
\ommindex{漸化式}{ぜんかしき}という。
等差数列の``ある項に $d$ を加えると次の項になる'' という性質は
%
\begin{align*}
a_{n+1}=a_n+d
\end{align*}
%
と,
漸化式によって表現される。
また,
等比数列の``ある項に $r$ をかけると次の項になる'' という性質は
%
\begin{align*}
a_{n+1}=r\,a_n
\end{align*}
%
と,
漸化式によって表現される。
3項の間に成り立つ漸化式を用いて
%
\begin{align*}
a_1=a_2=1,\ a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}
\end{align*}
%
と定められる数列は,
%
\begin{align*}
1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13, \cdots
\end{align*}
%
となる。
この数列を\ommindex{フィボナッチの数列}{ふぃぼなっちのすうれつ}という。
%
数列の極限
%
$n$ を限りなく大きくしていくと,
数列の第 $n$ 項 $a_n$ の値が,
一定の値 $\alpha$ に限りなく近づいていくとき,
数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ に\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい,
%
\begin{align*}
a_n\to \alpha\ (n\to \infty)
\quad \mbox{または}\quad
\lim_{n\to \infty}a_n=\alpha
\end{align*}
%
と表す。
$\infty$ は無限大と読み,
限りなく大きくなっていくことを表す。
このとき,
$\alpha$ を $\{a_n\}$ の\ommindex{極限値}{きょくげんち}という。
数列 $\{a_n\}$ がどんな値にも収束しないとき,
この数列は\ommindex{発散}{はっさん}するという。
発散する数列の中で,
$n$ を限りなく大きくしていくと,
$a_n$ の値が限りなく大きくなっていくとき,
数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ は $\infty$ に発散する
%
\begin{align*}
a_n\to \infty\ (n\to \infty)
\quad \mbox{または}\quad
\lim_{n\to \infty}a_n=\infty
\end{align*}
%
と表す。
また,
$a_n$ の値が限りなく小さくなる
(負の値で絶対値が限りなく大きくなっていく)とき,
数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ は $-\infty$ に発散するといい,
%
\begin{align*}
a_n\to -\infty\ (n\to \infty)
\quad \mbox{または}\quad
\lim_{n\to \infty}a_n=-\infty
\end{align*}
%
と表す。
発散する数列で,
$\infty$ にも $-\infty$ にも発散しない数列は
\ommindex{振動}{しんどう}するという。
$n$ が限りなく大きくなっていくときの $a_n$ の変化の様子を
\ommindex{数列の極限}{すうれつのきょくげん}という。
%
数列の極限値の性質
%
数列 $\left\{a_n\right\}$,
$\left\{b_n\right\}$ がともに収束するとき,
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$,
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ とすれば,
次が成り立つ。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_n\pm b_n\right)
=
\alpha \pm \beta\quad (\mbox{復号同順})$
\item[(2)]
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_nb_n\right)
=
\alpha\beta$
\item[(3)]
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
=
\frac{\alpha}{\beta}
\quad
(\mbox{ただし, $b_n\ne 0$, $\beta\ne 0$})$
\end{enumerate}
%
%
級数
%
無限数列 $\left\{a_n\right\}$ の各項を $+$ で結んだもの
%
\begin{align*}
a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots
\end{align*}
%
を,
数列 $\left\{a_n\right\}$ から作られる\ommindex{級数}{きゅうすう}
または\ommindex{無限級数}{むげんきゅうすう}という。
級数に対して,
%
\begin{align*}
S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n
\end{align*}
%
を第 $n$ \ommindex{部分和}{ぶぶんわ}という。
部分和の作る数列 $\left\{a_n\right\}$ が極限値 $S$ に収束するとき,
この級数は\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい,
%
\begin{align*}
S=a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots
\end{align*}
%
と表す。
このとき,
$S$ をこの\ommindex{級数の和}{きゅうすうのわ}という。
収束しない級数は\ommindex{発散}{はっさん}するという。
数列 $\left\{a_n\right\}$ から作られる級数が収束するとき,
数列 $\left\{a_n\right\}$ は $0$ に収束する。
%
等比級数
%
等比数列から作られる級数を
\ommindex{等比級数}{とうひきゅうすう}という。
%
\begin{align*}
a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}+\cdots
\end{align*}
%
は初項 $a$, 公比 $r$ の等比級数である。
等比級数は $|r|<1$ のときだけ収束し,
%
\begin{align*}
a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}+\cdots
=
\frac{a}{1-r}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{等級数の和}{とうひきゅうすうのわ}という。
%