フーリエ変換
%
広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left|f(x)\right|\,dx$ が
存在する関数 $f(x)$ に対して
%
\begin{align*}
F(\omega )
=
\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}
\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\,\omega x}\,dx
\end{align*}
%
を $f(x)$ の\ommindex{フーリエ変換}{ふーりえへんかん}といい,
$\Fou{\left[f(x)\right]}$ と表す。
$a$, $b$ が定数であるとき
%
\begin{align*}
{\cal F}[af(x)+bg(x)]=a{\cal F}[f(x)]+b{\cal F}[g(x)]
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを
\ommindex{フーリエ変換の線形性}{ふーりえへんかんのせんけいせい}という。
さらに,
$F(\omega)$ を $f(x)$ のフーリエ変換とするとき,
次の性質が成り立つ。
ただし,
$a$, $c$ は定数で,
$a\ne 0$ であるとする。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\Fou{\left[f(x-c)\right]}
=e^{-ic\omega}F(\omega)$
\item[(2)]
$\Fou{\left[e^{icx}f(x)\right]}
=F(\omega-c)$
\item[(3)]
$\Fou{\left[f(ax)\right]}
=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$
\item[(4)]
$\Fou{\left[\displaystyle f'(x)\right]}
=i \,\omega F(\omega)$
\item[(5)]
$\Fou{\left[\displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt \right]}
=\displaystyle\frac{1}{i \omega}F(\omega)$
\end{enumerate}
%
フーリエ積分定理
$F(\omega)$ を $f(x)$ のフーリエ変換とするとき,
%
\begin{align*}
\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}
\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\,\omega x}\,d\omega
\end{align*}
%
を $F(\omega)$ の\ommindex{逆フーリエ変換}{ぎゃくふーりえへんかん}といい,
$\Fouinv{\left[F(\omega)\right]}$で表す。
関数 $f(x)$ を,
実数全体で定義された区分的に滑らかな関数で,
広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |f(x)|\,dx$ が
存在するものとするとき,
%
\begin{align*}
\Fouinv{\left[\Fou{\left[f(x)\right]}\right]}
=
\frac{1}{\,2\,}\{f(x-0)+f(x+0)\}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{フーリエ積分定理}{ふーりえせきぶんていり}という。
$f(x)$ が連続ならば,
この式の右辺は $f(x)$ と等しい。
フーリエ積分定理を,
フーリエ級数と同じ記号を用いて
%
\begin{align*}
F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\,\omega x}\,dx,
\quad
f(x)
\sim
\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}
F(\omega)e^{i\,\omega x}\,d\omega
\end{align*}
%
と表す。
これを\ommindex{反転公式}{はんてんこうしき}という。
% %
フーリエ余弦変換・正弦変換
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$f(x)$ が偶関数のとき,
%
\begin{align*}
C(\omega)=2\int_0^{\infty}f(x)\cos{\omega x}\,dx
\end{align*}
%
と定めれば,
$F(\omega)=C(\omega)$ となる。
$C(\omega)$ を\ommindex{フーリエ余弦変換}{ふーりえよげんへんかん}という。
このとき,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
f(x)
\sim
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}
C(\omega)\cos{\omega x}\,d\omega
\end{align*}
%
\item[(2)]
$f(x)$ が奇関数のとき,
%
\begin{align*}
S(\omega)=2\int_0^{\infty}f(x)\sin{\omega x}\,dx
\end{align*}
%
と定めれば,
$F(\omega)=-iS(\omega)$ となる。
$S(\omega)$ を\ommindex{フーリエ正弦変換}{ふーりえせいげんへんかん}という。
このとき,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
f(x)
\sim
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}S(\omega)\sin{\omega x}\,d\omega
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
離散フーリエ変換
%
$f(x)$ を周期 $T$ の周期関数であるとする。
区間 $[0,T]$ を $N$ 等分したときの
分点 $x_k=$ に対する関数 $f(x)$ の値を
%
\begin{align*}
f_k=f\left(\frac{kT}{\,N\,}\right)
\quad
(k=0,1,2,\ldots ,N-1)
\end{align*}
%
とする。
このとき,
%
\begin{align*}
F_n=\frac{1}{\,N\,}\sum_{f_k}e^{-\frac{2\pi kn}{\,N\,}}
\end{align*}
%
で定められる複素数列 $\{F_1,F_2,\ldots ,F_{N-1}$ を,
\ommindex{離散フーリエ変換}{りさんふーりえへんかん}または
\ommindex{DFT}{DFT}という。
$\{F_n\}$ から $\{f_k\}$ を求める関係式は
%
\begin{align*}
f_k=\sum_{n=0}^{N-1}F_n e^{i\frac{2\pi nk}{\,N\,}}
\end{align*}
%
となり,
これを\ommindex{逆離散フーリエ変換}{ぎゃくりさんふーりえへんかん}という。
$\alpha=e^{-\frac{2\pi}{\,N\,}}$ とおくとき,
$f_k$ と $F_n$ の関係は,
行列の積
%
\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}
F_0 \\ F_1 \\ F_2 \\ \vdots \\ F_{N-1}
\end{array}\right)
=
\frac{1}{N}
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1
\\
1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{N-1}
\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(N-1)}
\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
1 & \alpha^{N-1} & \alpha^{2(N-1)} & \cdots & \alpha^{(N-1)^2}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
f_0 \\ f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_{N-1}
\end{array}\right)
\end{align*}
%
で表される。
離散フーリエ変換を求めるために,
右辺の行列の積を工夫して計算回数を減らしたものが,
\ommindex{高速フーリエ変換}{こうそくふーりえへんかん}または
\ommindex{FFT}{FFT}と呼ばれるものである。
%
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