2次方程式の解の公式
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$a$, $b$, $c$ を実数とするとき,
$x$ に関する方程式
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\begin{align*}
ax^2+bx+c=0
\quad
(a\ne 0)
\end{align*}
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を\ommindex{2次方程式}{にじほうていしき}という。
この方程式の左辺は
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\begin{align*}
&
ax^2+bx+c
\\
&=
a\left(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)
\\
&=
a\left\{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2
-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right\}
\\
&=
a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2
-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right\}
\\
&=
a\left\{
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2
-
\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}^2\right\}
\\
&=
a
\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)
\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)
\end{align*}
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と変形できる。
ここで,
複号を $a$ の符号と同じものとすれば
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\begin{align*}
\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
=
\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\quad
\end{align*}
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となるから,
与えられた2次方程式の解は
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\begin{align*}
x
=
\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}
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となる。
これを2次方程式の\ommindex{解の公式}{かいのこうしき}という。
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判別式
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2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$ に対して,
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\begin{align*}
D=b^2-4ac
\end{align*}
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とおく。
このとき,
この2次方程式の解は,
$D$ の符号によって次のように分類することができる。
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\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]
$D=b^2-4ac>0$ ならば2つの異なる\ommindex{実数解}{じっすうかい}をもつ。
\item[$\bullet$]
$D=b^2-4ac=0$ ならば
ただ1つの解 $x=\displaystyle -\frac{b}{2a}$ をもつ。
これを\ommindex{2重解}{にじゅうかい}という。
\item[$\bullet$]
$D=b^2-4ac=0$ ならば2つの異なる\ommindex{虚数解}{きょすうかい}をもつ。
\end{enumerate}
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式 $D=b^2-4ac$ を2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の
解の\ommindex{判別式}{はんべつしき}という。
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解と係数の関係
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2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$,
$\beta$ とすると,
これらの和,
積について
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\begin{align*}
\alpha+\beta
&=
\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
+
\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\\
&=
-\frac{b}{a}
\\
\alpha\beta
&=
\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\cdot
\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\\
&=
\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}
\\
&=
\frac{c}{a}
\end{align*}
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が成り立つ。
これら2つの式
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\begin{align*}
\alpha+\beta=-\frac{b}{a},
\quad
\alpha\beta=\frac{c}{a}
\end{align*}
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をまとめて,
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の
\ommindex{解と係数の関係}{かいとけいすうのかんけい}という。
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