1. (1) $(x,y) = (r,0)$ を通過してから 時刻 $t$ になるまで， 時間は $t$ だけ経過する． 角速度が $\omega$ なので， この間の回転角度は $\omega t$ となり， 物体は半径 $r$ の円周上を $(r,0)$ から 反時計回りに $\omega t$ 回転した地点まで進むことになる． したがって， 物体の位置座標 $x(t)$ と $y(t)$ は次のように表される。 $$\begin{align*} x(t) &= r \cos \omega t, \\ y(t) &= r \sin \omega t. \end{align*}$$
2. (2) 向心加速度を $\vt{a} = (a_x, a_y)$と成分表示すると $$\begin{align*} a_x &= x”(t) =- r \omega^2 \cos \omega t, \\ a_y &= y”(t) = (r \omega \cos \omega t)' =- r \omega^2 \sin \omega t. \end{align*}$$ よって，その大きさ$|\vt{a}|$は $$\begin{align*} |\vt{a}| &= \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = r \omega^2. \end{align*}$$
3. (3) 地球は1周 $2 \pi \,\textrm{rad}$ を1年間で回転するので角速度 $\omega$ は $$\begin{align*} \omega = \frac{2 \pi \,\textrm{rad}}{1 \,\textrm{年}} = \frac{2 \cdot 3.14 \,\textrm{rad}}{3.2 \times 10^7 \,\textrm{s}} = 1.96 \cdots \times 10^{-7} \left[\textrm{rad}/\textrm{s}\right] \end{align*}$$ よって，向心加速度の大きさは $$\begin{align*} |\vt{a}| = 1.5 \times 10^{11} \,\textrm{m} \cdot (1.96 \times 10^{-7} \textrm{rad}/\textrm{s})^2 = 5.76 \cdots \times 10^{-3} \,\left[\textrm{m}/\textrm{s}^2\right] \end{align*}$$ 有効数字2桁では $5.8 \times 10^{-3} \,\textrm{m}/\textrm{s}^2$ である。

ばねが自然の長さであるときの質点の位置を原点とする。 ばねの先端にとりつけられた質点 P の, 時刻 $t$ における質点の位置を $x(t)$, 速度を $v(t)$ とする。 ばね定数 $k$ のばねが $x$ だけ伸びたとき, ばねが元の長さ戻ろうとして質点に加わる力は $$\begin{align*} F_1=-kx \end{align*}$$ である(フックの法則)。 また, 質点が速度に比例する抵抗を受けるとき, 質点に加わる力 $F_2$ は速度と逆向きであるから $$\begin{align*} F_2=-\gamma v(t) \end{align*}$$ となる。 したがって, 質点 P の運動方程式は $$\begin{align*} -kx(t)-\gamma v(t)=mx”(t) \end{align*}$$ となる。 $v(t)=x'(t)$ であるから, 質点の位置 $x(t)$ に関する \hook{定数係数2階線形微分方程式}{定数係数2階線形微分方程式} $$\begin{align*} mx”(t)+\gamma x'(t)+kx(t)=0 \end{align*}$$ が成り立つ。 この方程式の特性方程式は $$\begin{align*} m\lambda^2+\gamma \lambda+k=0 \end{align*}$$ となるから, 質点の運動は次のように分類することができる。

1. i) $\gamma^2-4mk>0$ のとき特性方程式は2つの実数解 $$\begin{align*} \lambda=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4mk}}{2m} \end{align*}$$ をもつ。 解の形からこの解は負であり, これを $-\alpha$, $-\beta$ ($\alpha$, $\beta>0$) とおくと $$\begin{align*} x(t)=Ae^{-\alpha t}+Be^{-\beta t} \quad (\mbox{$A$, $B$ は任意定数}) \end{align*}$$ となる。 したがって, 質点は振動せず, やがて元の長さに戻っていく。
2. ii) $\gamma^2-4mk=0$ のとき特性方程式は2重解 $$\begin{align*} \lambda=\frac{-\gamma}{2m}<0 \end{align*}$$ をもつ。 この解は負であり, これを $-\alpha$ とおくと $$\begin{align*} x(t)=e^{-\alpha t}(At+B) \quad (\mbox{$A$, $B$ は任意定数}) \end{align*}$$ となる。 この場合も質点は振動せず, やがて元の長さに戻っていく。
3. iii) $\gamma^2-4mk<0$ のとき特性方程式は虚数解 $$\begin{align*} \lambda=\frac{-\gamma\pm\sqrt{4mk-\gamma^2}\,i}{2m} \end{align*}$$ をもつ。 これを $-\alpha\pm i\omega$ ($\alpha\ge 0$) とおくと $$\begin{align*} x(t)=e^{-\alpha t}(A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t}) \quad (\mbox{$A$, $B$ は任意定数}) \end{align*}$$ となる。 $\gamma=0$, すなわち, 空気抵抗がなければ $\alpha=0$ となり, 質点は単振動を行う。 $\gamma>0$ のとき, 質点は減衰振動を行う。