%=image:/media/2014/08/29/140931425073443800.jpg: % \begin{enumerate} \item[(1)] 円盤の面密度を $\sigma$ とすれば, 円盤の質量は $M$ であるから, % \begin{align*} \sigma=\frac{M}{\,\pi R^2\,} \end{align*} % となる。 円盤の内部の領域を $D$ とし, $D$ を面積が $dS$ の小領域に分割し, その小領域の原点からの距離を $r$ とすれば, % \begin{align*} I = \int_{D} \sigma r^2 \,dS = \frac{M}{\,\pi R^2\,}\int_{D} r^2 \,dS \end{align*} % が成り立つ。 図のように, 半径 $r$, 幅 $dr$ のドーナッツ状の領域の面積を $dS$ とすれば, % \begin{align*} dS=2\pi r\,dr \end{align*} % となる。 したがって, 円盤の中心軸まわりの慣性モーメントIは, % \begin{align*} I &= \frac{M}{\,\pi R^2\,}\int_{D} r^2 \,dS \\ &= \frac{M}{\,\pi R^2\,} \int_{0}^{R} r^2\cdot 2\pi r\,dr \\ &= \frac{2M}{\,R^2\,}\cdot \frac{R^4}{4} \\ &= \frac{MR^2}{2} \end{align*} % となる。 % \item[(2)] 円盤の中心に加わる重力の斜面方向の成分を $F_1$ とすれば % \begin{align*} F_1=Mg \sin{\theta} \end{align*} % である。 さらに, 摩擦力を $F_2=f$ とすれば 関する運動方程式 $\vt{F}=m\vt{a}$ は, % \begin{align*} Mg \sin{\theta}-f=M\frac{d^2 x}{dt^2} \quad \cdots \cdots (1) \end{align*} % となる。 また, 円盤の回転角を $\varphi(t)$ とすれば, $x(t)=R\varphi(t)$ である。 円盤の中心に関する回転モーメントは $N=Rf$ であるから, 円盤の回転に関する運動方程式 $N=I\frac{d^2\varphi}{dt^2}$ は, % \begin{align*} Rf=I\frac{d^2 \varphi}{dt^2} \end{align*} % となる。 すべりがない場合, $x(t)=R\varphi(t)$ であるから, 円盤の慣性モーメント $I=\frac{MR^2}{2}$ を用いると, が % \begin{align*} f = \frac{I}{R^2}\frac{dx^2}{dt^2} = \frac{M}{2}\frac{dx^2}{dt^2} \end{align*} % となる。 これを, 式(1)に代入すれば % \begin{align*} Mg\sin{\theta}-\frac{M}{2}\frac{dx^2}{dt^2} = M\frac{dx^2}{dt^2} \end{align*} % となり, これを整理して, $x$ に関する微分方程式 % \begin{align*} \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{2g\sin{\theta}}{3} \end{align*} % が得られる。 これを積分すると % \begin{align*} \frac{dx}{dt}=\frac{2g\sin{\theta}}{3}t+C \end{align*} % となる。 右辺の $C$ は積分定数であるが, $t=0$ で速度 $v0=0$ の条件から $C=0$ である。 さらに, 時間に関してもう1回積分すると, % \begin{align*} x(t)=\frac{g\sin{\theta}}{\,3t^2\,}+C' \end{align*} % となる。 右辺の $C'$ は積分定数であるが, $t=0$ で位置 $x_0=0$ の条件から, $C'=0$ である。 よって, 時刻 $t$ における円盤の位置 $x$ を表す式は, 次のようになる。 % \begin{align*} x(t)=\frac{g\sin{\theta}}{\,3t^2\,} \end{align*} % \end{enumerate}