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例題集 / 機械 / 材料力学（V-A-3 力学） / 引張と圧縮
直径$d＝10 \rm{mm}$，長さ$L＝120 \rm{mm}$の丸棒鋼材の両端を間隔一定の剛体壁間に固定する．
この丸棒鋼材を加熱して温度を$25\rm{^\circ C}$上昇させたときの熱応力および固定端が受ける反力を求めたい．
なお，鋼材の線膨張係数$\alpha＝11.0\times10^{-6} [\rm{1/ ^\circ C}]$，ヤング率$E ＝200 \rm{GPa}$とする．
$(1)$
剛体壁で拘束されていない場合に，温度上昇によって生じるひずみ$\varepsilon$を求めよ．
$(2)$
剛体壁で拘束されていない場合に，温度上昇によって生じる変位$\delta$を求めよ．
$(3)$
剛体壁間に固定された場合の熱応力$\sigma$を求めよ．
$(4)$
固定端が受ける反力$R$を求めよ．
解答例・解説
$(1)$
\begin{align}
\epsilon&=\alpha \Delta T\\
&=11.0\times10^{-6}\times25\\
&=2.75\times10^{-4}
\end{align}
$(2)$
\begin{align}
\delta&=\alpha \Delta Tl\\
&=11.0\times10^{-6}\times25\times120\\
&=0.033\ \rm{mm}
\end{align}
$(3)$
\begin{align}
\sigma&=-E\alpha \Delta T\\
&=-200\times10^9\times11.0\times10^{-6}\times25\\
&=-55\ \rm{MPa}
\end{align}
$(4)$
\begin{align}
R&=\sigma A\\
&=-55\times10^6\times\frac{\pi}{4}\times\left(10\times10^{-3}\right)^2\\
&=-4.32\ \rm{kN}
\end{align}
図のような等脚台形の形状をもつ板材が軸引張荷重$P$を受けるときの伸び量$\lambda$を求めたい．
ただし，材料のヤング率を$E$とする．
$(1)$
$\rm{A}$断面から任意の位置$x$における断面積$A_{x}$を答えよ．
$(2)$
$\rm{A}$断面から任意の位置$x$において幅$d_{x}$の微小要素を考える．
この微小要素の伸び量$d\lambda$を答えよ．
$(3)$
$P＝3000 \rm{N}$，$L＝1000 \rm{mm}$，$E＝206 \rm{GPa}$，$H＝30 \rm{mm}$，$h＝20 \rm{mm}$，$t＝5 \rm{mm}$のとき，板材全体の伸び量$\lambda$はいくらか．
%=image:/media/2015/01/22/142192661772360400.png:
解答例・解説
$(1)$
\[
\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)t
\]
$(2)$
$x$の位置における微小要素の伸びは,
\begin{align}
d\lambda&=\frac{Pdx}{A_{x}E}\\
&=\frac{P}{\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)tE}dx
\end{align}
$(3)$
全体の伸びは積分すれば良い
\begin{align}
\lambda&=\int_0^Ld\lambda=\int_0^L\frac{P}{\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)tE}dx\\
&=\frac{P}{tE}\int_0^L\frac{1}{{\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)}}dx\\
&=\frac{P}{tE}\left[\log_{e}\left(h+\frac{H-h}{L}x\right)\frac{L}{H-h}\right]_0^L\\
&=\frac{P}{tE}\left\{\log_eH\frac{L}{H-h}-\log_eh\frac{L}{H-h}\right\}\\
&=\frac{PL}{tE}\frac{\log_e\frac{H}{h}}{H-h}\\
&=\frac{3000\times1}{\left(5\times10^{-3}\right)\times206\times10^9}\times\frac{\log_e\frac{30\times10^{-3}}{20\times10^{-3}}}{\left(30\times10^{-3}\right)-\left(20\times10^{-3}\right)}\\
&=1.18\times10^{-4}\ \textrm{m}
\end{align}
\end{enumerate}
図のように，一辺の長さ$30 \rm{mm}$の正方形断面を有する長さ$2 \rm{m}$の鋼材が軸荷重$1500 \rm{kgf}$を受けたときの体積変化量を求めたい．
なお，重力加速度$g＝9.8 \rm{m/s^2}$とし，この鋼材のヤング率$E＝206 \rm{GPa}$，ポアソン比$\nu＝0.3$とする．
$(1)$
このときの応力を求めよ．ただし、有効数字三桁とする．
$(2)$
ひずみ$\epsilon_x$を求めよ．ただし、有効数字三桁とする．
$(3)$
ひずみ$\epsilon_y$を求めよ．ただし、有効数字三桁とする．
$(4)$
体積ひずみ$\epsilon_{_{V}}$を，ひずみ成分$\epsilon_x$， $\epsilon_y$， $\epsilon_z$を用いて近似せよ．
$(5)$
体積変化量を求めよ．ただし、有効数字三桁とする．
%=image:/media/2015/01/15/142125446570619100.png:
解答例・解説
$(1)$
\[
\begin{align}
\sigma=\frac{P}{A}
&=\frac{1500\times9.8}{(30\times10^{-3})^2}\\
&=1.63\times10^1\ \rm{MPa}
\end{align}
\]
$(2)$
\[
\sigma=E\epsilonより
\]
\[
\begin{align}
\epsilon=\frac{\sigma}{E}&=\frac{16.33}{206\times10^9}\\
&=7.93\times10^{-5}
\end{align}
\]
$(3)$
\[
\nu=-\frac{\epsilon'}{\epsilon}より
\]
\[
\begin{align}
\epsilon_y=-\nu\epsilon_x=&-0.3\times7.929\times10^{-5}\\
&=-2.38\times10^{-5}
\end{align}
\]
$(4)$
\[
\epsilon_V\simeq\epsilon_x+\epsilon_y+\epsilon_z
\]
$(5)$
\[
\begin{align}
\Delta V&=\Delta\times\epsilon_V\\
&=\left(\left(30\times10^{-3}\right)^2\times2\right)\times(1-2\nu)\times7.929\times10^{-5}\\
&=5.71\times10^{-8}\ \rm{m^3}
\end{align}
\]