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例題集 / 機械 / 材料力学（V-A-3 力学） / ねじり
図に示すように全長が$l$（エル），両端での直径が$d_{1}$，$d_{2}$であるテーパ付丸軸がねじりモーメント$T$を受けるとき，生じるねじれ角$\phi$を求めたい．
%=image:/media/2015/01/22/142192664302348200.png:
$(1)$
左端から$x$の位置における微小要素（長さ$d_{x}$）を考える．この微小要素の直径$d_{x}$を表現せよ．
$(2)$
この微小要素のねじれ角$d\phi$を，横弾性係数$G$,トルク$T$，直径$d_{x}$等を用いて表現せよ．
$(3)$
棒全体のねじれ角$\phi$は，$d\phi$を全長にわたって積分すれば良い．積分して答えを導出せよ．
解答例・解説
$(1)$
\begin{align}
dx=d_1+\frac{d_2-d_1}{l}x\\
\end{align}
$(2)$
\begin{align}
d\phi&=\frac{Tdx}{GI_p}\\
&=\frac{32Tdx}{G\pi dx^4}\\
&=\frac{32T}{G\pi}\left(d_1+\frac{d_2-d_1}{l}x\right)^{-4}dx
\end{align}
$(3)$
\begin{align}
\phi&=\int_0^ld\phi\\
&=\frac{32T}{G\pi}\int_0^l\left(d_1+\frac{d_2-d_1}{l}x\right)^{-4}dx\\
&=\frac{32T}{G\pi}\left[-\frac{l}{3\left(d_2-d_1\right)}\left(d_1+\frac{d_2-d_1}{l}x\right)^{-3}\right]_0^l\\
&=\frac{32T}{G\pi}\frac{l\left({d_2}^3-{d_1}^3\right)}{3{d_2}^3{d_1}^3\left(d_2-d_1\right)}
\end{align}
段つき中空丸棒の一端が固定され，他端にねじりモーメント$T$が作用するとき，各部の最大せん断応力と荷重端のねじれ角を求めよ．
ただし，$d_1=40 \rm{mm}$，$d_2=20 \rm{mm}$，$d_3=10 \rm{mm}$，$l_1=50 \rm{mm}$，$l_2=60 \rm{mm}$，$G=80 \rm{GPa}$，$T=1.0×10^2 \rm{N･m}$とする．
%=image:/media/2015/01/22/142192562945552700.png:
解答例・解説
$\rm{AB}$区間
\begin{align}
\tau_{AB}&=\frac{T}{Z_P}\\
&=\frac{16d_1T}{\pi\left(d_1^4-d_3^4\right)}\\
&=\frac{16\times0.04\times1.0\times10^2}{\pi\left(0.04^4-0.01^4\right)}\\
&=7.988\\
&=7.99\ \rm{MPa}
\end{align}
$\rm{BC}$区間
\begin{align}
\tau_{BC}&=\frac{T}{Z_P}\\
&=\frac{16d_2T}{\pi\left(d_2^4-d_3^4\right)}\\
&=\frac{16\times0.02\times1.0\times10^2}{\pi\left(0.02^4-0.01^4\right)}\\
&=67.906\\
&=6.79\times10^1\ \rm{MPa}
\end{align}
ねじれ角
\begin{align}
\theta&=\theta_{AB}+\theta_{BC}\\
&=\frac{Tl_1}{GI_{PAB}}+\frac{Tl_2}{GI_{PBC}}\\
&=\frac{32T}{G\pi}\left(\frac{l_1}{d_1^4-d_3^4}+\frac{l_2}{d_2^4-d_3^4}\right)\\
&=\frac{32\times1.0\times10^2}{80\times10^9\times\pi}\left(\frac{0.05}{0.04^4-0.01^4}+\frac{0.06}{0.02^4-0.01^4}\right)\\
&=5.3462\times10^{-3}\\
&=5.34\times10^{-3}\ \rm{rad}\\
&=5.3462\times10^{-3}\times\frac{180}{\pi}\\
&=0.306109\\
&=3.06\times10^{-1}\ \rm{deg}
\end{align}