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例題集 / 機械 / 材料力学（V-A-3 力学） / ひずみエネルギー
ひずみエネルギー(1)
適用レベル
難易度: ★★★
図のように，中心軸に関する慣性モーメント$I$のはずみ車をもつ中実丸棒（直径$d＝2r$，横弾性係数$G$）があり，回転数$n \rm{rpm}$で回転している．
次の各問に答えよ．
%=image:/media/2015/01/15/142125521522780400.png:
$(1)$
はずみ車の回転運動エネルギー$U$を答えよ．
$(2)$
今，軸受$\rm{A}$に異常が生じて，突然停止した．
このとき発生したねじりモーメントを$T$，軸の断面二次極モーメントを$I_{\textrm{p}}$として，中実丸棒の最外表面に生じるせん断応力$\tau_{max}$を記号で答えよ．
$(3)$
$(2)$のとき，ねじりによるひずみエネルギー$U$を答えよ．
$(4)$
ねじりによるひずみエネルギー$U$を，$\tau$を含んだ形で表現せよ．
$(5)$
衝撃ねじりによる応力$\tau_{max}$を求めよ．
\end{enumerate}
%
解答例・解説
$(1)$
\[
U=\frac{1}{2}Iw^2=\frac{1}{2}I\left(\frac{\pi n}{30}\right)^2
\]
$(2)$
\[
\tau_{max}=\frac{T}{I_p}r
\]
$(3)$
\[
U=\frac{T^2}{2GI_p}l
\]
$(4)$
\[
U=\frac{T^2}{2GI_p}l=\frac{\tau^2I_pl}{2Gr^2}=\frac{\tau^2\pi r^4l}{4Gr^2}=\frac{\pi r^2\tau^2l}{4G}
\]
$(5)$
\[(1)=(4)より\\
\frac{\pi r^2\tau^2l}{4G}=\frac{1}{2}I\left(\frac{\pi n}{30}\right)^2\\
\tau^2=\frac{2G}{r^2l}\left(\frac{\pi n}{30}\right)^2\pi I
\]
\[
\therefore\tau=\frac{n}{30r}\sqrt{\frac{2\pi GI}{l}}
\]
ひずみエネルギー(2)
理解レベル
難易度: ★★
図のような一様断面をもつ不静定$\rm{AB}$ばりがある．
次の各問に答えよ．
%=image:/media/2015/01/22/142192690823962400.png:
$(1)$
曲げによるひずみエネルギー$U$を求める一般公式を記述せよ（はりの断面が一様でない場合にも適用できる形で表現せよ）．
$(2)$
区間$\rm{AC}$，および$\rm{CB}$の曲げモーメントをそれぞれ求めよ．
なお，支点反力$R_{\textrm{C}}$はそのまま用いて良い．
$(3)$
カスティリアノの定理について，公式を記述した上で，さらに簡単な文章で説明せよ．
$(4)$
支点$\rm{C}$と点$\rm{B}$が同一高さのとき，$R_{\textrm{C}}$およびはり先端の変位$\delta_{\textrm{A}}$を求めよ．
$(5)$
支点$\rm{C}$を押し上げて，点$\rm{A}$と点$\rm{B}$とが同一高さになるとき，$R_{\textrm{C}}$および点$\rm{C}$の変位$\delta_{\textrm{C}}$を求めるには，どのような関係式を解けば良いかを記述して答えよ．
解答例・解説
$(1)$
\[
U=\int_0^l\frac{M^2}{2EI}dx
\]
$(2)$
\[\begin{align}
&\textrm{AC}間(0\leqq x\leqq\frac{l}{3})\hspace{20pt}M=-Px\\
&\textrm{CB}間(\frac{l}{3}\leqq x\leqq l)\hspace{20pt}M=-Px+R_c\left(x-\frac{l}{3}\right)
\end{align}\]
$(3)$
\[
\delta=\frac{\partial U}{\partial P}\]
ひずみエネルギー$U$を外力$P$で偏微分すると，外力$P$の負荷されている点の負荷方向の変位が求まる．
$(4)$
$\delta_c=0$を解けば良い
\[\begin{align}
\delta_c&=\frac{\partial U}{\partial R}\\
&=\frac{1}{EI}\int_0^lM\frac{\partial M}{\partial R}dx\\
&=\frac{1}{EI}\left\{\int_0^{\frac{l}{3}}(-Px)\times0\times dx+\int_{\frac{l}{3}}^l\left(-P_x+R_c\left(x-\frac{l}
{3}\right)\right)\left(x-\frac{l}{3}\right)dx\right\}\\
&=\frac{1}{EI}\left[-\frac{P}{3}x^3+\frac{Pl}{6}x^2+R_c\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}lx^2+\frac{l^2}{9}x\right)\right]_{\frac{l}{3}}^l\\
&=\frac{l^3}{EI}\left(\frac{-756}{4374}P+R_c\frac{8}{81}\right)\\
&=0
\end{align}\]
より\[
R_c=\frac{756}{4374}P\times\frac{81}{8}=\frac{7}{4}P
\]
$(5)$
\[
\delta_A=\frac{\partial U}{\partial P}=0\\
\delta_C=\frac{\partial U}{\partial R_c}\hspace{20px}\\
を解く\]