【方針】 \item Aの濃度$C_{\rm{A}}$ は反応時間$t$の1変数関数と考える. $C_{\rm{A}}^{\,0}$ は定数である. \bigskip \item ここでは, 与えられた微分方程式を, 初期条件「$t=0$ のとき, $C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}$」のもとで解く. \bigskip 【解答】微分方程式 $-\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{dt}=kC_{\rm{A}}$ を, 初期条件「$t=0$ のとき, $C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}$」のもとで解く. 変数を分離して積分すると, $$\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{C_{\rm{A}}}=-k\,dt$$ $$\displaystyle\int_{C_{\rm{A}}^{\,0}}^{C_{\rm{A}}}\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{C_{\rm{A}}}=-\int_{0}^{t}k\,dt$$ $$\Bigl[\ln|C_{\rm{A}}|\Bigr]_{C_{\rm{A}}^{\,0}}^{C_{\rm{A}}}=-\Bigl[kt\Bigr]_{0}^{t}$$ $$\ln C_{\rm{A}}-\ln C_{\rm{A}}^{\,0}=-kt$$ $$\ln \displaystyle\frac{C_{\rm{A}}}{C_{\rm{A}}^{\,0}}=-kt$$ $$\displaystyle\frac{C_{\rm{A}}}{C_{\rm{A}}^{\,0}}=e^{-kt}$$ これより, $$C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}\cdot e^{-kt}$$ を得る. %=image:/media/2014/08/30/140941029538682800.jpg: \bigskip 【注意】 \item 変数分離形の1階微分方程式 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ は $\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$ と変形して両辺を積分する. 初期条件「$x=x_0$ のとき, $y=y_0$」が与えられたときは, $$\displaystyle\int_{y_0}^{y}\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=\int_{x_0}^{x}f(x)\,dx$$ として定積分すると, 特殊解が得られる. \bigskip \item $\ln M=r$ のとき, $M=e^r$ となる. ($e$は自然対数の底)

【方針】 \item $C_{\rm{A}}$, $C_{\rm{B}}$ はともに反応時間$t$の1変数関数と考える. $C_{\rm{A}}^{\,0}$, $C_{\rm{B}}^{\,0}$ はともに定数である. \bigskip \item 反応時間$t$において反応したAの濃度を$x$ [mol$\cdot$dm${}^{-3}$]とすると, 反応したBの濃度も$x$ [mol$\cdot$dm${}^{-3}$] となる. したがって, 反応時間$t$におけるA,Bの濃度は, $C_{\rm{A}}^{\,0}-x$, $C_{\rm{B}}^{\,0}-x$ となっている. このことを使って, 微分方程式を $x$ と $t$の式にする. \bigskip 【解答】 反応時間$t$において反応したAの濃度を$x$ [mol$\cdot$dm${}^{-3}$]とすると, $t$におけるA, Bの濃度はそれぞれ, $C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}-x$, $C_{\rm{B}}=C_{\rm{B}}^{\,0}-x$ となる. $C_{\rm{A}}^{\,0}$ は定数であるので, $$-\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{dt}=-{C_{\rm{A}}}'=-(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)'=x'=\displaystyle\frac{dx}{dt}$$ となる. (1) より, $$\displaystyle\frac{dx}{dt}=k(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)(C_{\rm{B}}^{\,0}-x)$$ $$\displaystyle\frac{dx}{(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)(C_{\rm{B}}^{\,0}-x)}=k\,dt$$ $t=0$ のとき, $x=0$ であるので, $$\displaystyle\int_0^x\displaystyle\frac{dx}{(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)(C_{\rm{B}}^{\,0}-x)}=\int_0^t k\,dt \quad\cdots \,(2)$$ ここで, $\displaystyle\frac1{(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)(C_{\rm{B}}^{\,0}-x)}=\displaystyle\frac{\alpha}{C_{\rm{A}}^{\,0}-x}+\displaystyle\frac{\beta}{C_{\rm{B}}^{\,0}-x}$ とすると, 分母を払って, $$ 1=\alpha(C_{\rm{B}}^{\,0}-x)+\beta(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)=-(\alpha+\beta)x+(C_{\rm{B}}^{\,0}\alpha+C_{\rm{A}}^{\,0}\beta)$$ $x$についての恒等式になるためには, $$ \left\{\begin{array}{ll} -(\alpha+\beta)=0 \\ C_{\rm{B}}^{\,0}\alpha+C_{\rm{A}}^{\,0}\beta=1 \end{array}\right.$$ $\alpha,\beta$ について解くと, $$\alpha=-\displaystyle\frac{1}{C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0}},\ \beta=\displaystyle\frac{1}{C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0}}$$ これより, (2) は, $$\displaystyle\frac{1}{C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0}}\displaystyle\int_0^x\left(-\displaystyle\frac1{C_{\rm{A}}^{\,0}-x}+\displaystyle\frac1{C_{\rm{B}}^{\,0}-x}\right)\,dx=kt$$ となるので, $$\displaystyle\frac1{C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0}}\Bigl[\ln|C_{\rm{A}}^{\,0}-x|-\ln|C_{\rm{B}}^{\,0}-x|\Bigr]_{0}^{x}=kt$$ $$\displaystyle\frac1{C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0}}\left\{\ln(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)-\ln(C_{\rm{B}}^{\,0}-x)-\left(\ln C_{\rm{A}}^{\,0}-\ln {C_{\rm{B}}}^{0}\right)\right\}=kt$$ $$\displaystyle\frac1{C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0}}\ln\displaystyle\frac{(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)C_{\rm{B}}^{\,0}}{(C_{\rm{B}}^{\,0}-x){C_{\rm{A}}}^{0}}=kt$$ $$\ln\displaystyle\frac{(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)C_{\rm{B}}^{\,0}}{(C_{\rm{B}}^{\,0}-x){C_{\rm{A}}}^{0}}=k(C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0})t$$ 以上により, $$\displaystyle\frac{(C_{\rm{A}}^{\,0}-x)C_{\rm{B}}^{\,0}}{(C_{\rm{B}}^{\,0}-x){C_{\rm{A}}}^{0}}=e^{k(C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0})t}$$ を得る. さらに, $x$について解くと, $$x=\displaystyle\frac{C_{\rm{A}}^{\,0}C_{\rm{B}}^{\,0}\left( e^{k(C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0})t}-1\right)}{C_{\rm{A}}^{\,0} e^{k(C_{\rm{A}}^{\,0}-C_{\rm{B}}^{\,0})t}-C_{\rm{B}}^{\,0}}$$ となる. %=image:/media/2014/08/30/140941068003912600.jpg: \bigskip 【注意】 \item 部分分数分解により, 分数式 $\displaystyle\frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}$ ($a,b,c,d$ は定数) は $\displaystyle\frac{\alpha}{x+a}+\displaystyle\frac{\beta}{x+b}$ ($\alpha,\beta$ は定数) と変形できる. \bigskip \item 変数分離形の1階微分方程式 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ は $\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$ と変形して両辺を積分する. 初期条件「$x=x_0$ のとき, $y=y_0$」が与えられたときは, $$\displaystyle\int_{y_0}^{y}\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=\int_{x_0}^{x}f(x)\,dx$$ として定積分すると, 特殊解が得られる. \bigskip \item $\displaystyle\int\displaystyle\frac1{x+a}=\ln |x+a|+C$ $\qquad$ （積分公式）

【方針】 \item $C_{\rm{A}}$, $C_{\rm{B}}$ はともに反応時間$t$の1変数関数と考える. $C_{\rm{A}}^{\,0}$ は定数である. \bigskip \item 反応 A $\to$ B の速度式は $-\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{dt}=k_1C_{\rm{A}}$ で与えられるので, このことを使って, $t$ と $C_{\rm{B}}$ についての微分方程式を作る. \bigskip 【解答】 反応 A $\to$ B の速度式は $-\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{dt}=k_1C_{\rm{A}}$ で与えられるので, $C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}e^{-k_1t}$ となる. (1) に代入して, $$\displaystyle\frac{dC_{\rm{B}}}{dt}=k_1C_{\rm{A}}^{\,0}e^{-k_1t}-k_2C_{\rm{B}}$$ $$\displaystyle\frac{dC_{\rm{B}}}{dt}+k_2C_{\rm{B}}=k_1C_{\rm{A}}^{\,0}e^{-k_1t}$$ 1階線形微分方程式の解の公式より, \begin{align*} C_{\rm{B}}&=e^{-\int k_2\,dt}\left(\displaystyle\int e^{\int k_2\,dt}k_1C_{\rm{A}}^{\,0}e^{-k_1t}\,dt+C\right)\\ &=e^{-k_2t}\left(k_1C_{\rm{A}}^{\,0}\int e^{k_2t}e^{-k_1t}\,dt+C\right)\\ &=e^{-k_2t}\left(k_1C_{\rm{A}}^{\,0}\int e^{(k_2-k_1)t}\,dt+C\right)\\ &=e^{-k_2t}\left(\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}e^{(k_2-k_1)t}+C\right)\\ &=\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}e^{-k_1t}+Ce^{-k_2t} \end{align*} となる. ($C$は任意定数) $t=0$ のとき, $C_{\rm{B}}=0$ であるから, $0=\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}+C$ より, $C=-\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}$. したがって, $$C_{\rm{B}}=\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right)$$ を得る. %=image:/media/2014/08/31/140941110276165500.jpg: \bigskip 【注意】 \item 1階線形微分方程式 $\displaystyle\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ の解は $$y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\displaystyle\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C\right)$$ で与えられる. ($C$は任意定数) \bigskip \item 初期条件は「$t=0$ のとき, $C_{\rm{B}}=0$」となる. \bigskip \item $a^{r}a^s=a^{r+s}$ $\qquad$ (指数法則) \bigskip \item $\displaystyle\int {e^{ax+b}}\,dx=\displaystyle\frac1ae^{ax+b}+C$ $\qquad$ (不定積分)