$$\begin{equation} 調和振動 \left\{ \begin{array}{l} x_1＝\alpha_1\cos(\omega t＋\phi) \\ x_2＝\alpha_2\cos(\omega t＋\phi) \end{array} \right. \ \ \ (三角関数の基本公式) \end{equation}$$ $$\begin{equation} 振幅 \left\{ \begin{array}{l} \alpha_1＝3\,\rm{mm}\\ \alpha_2＝5\,\rm{mm} \end{array} \right. \end{equation}$$ $$\begin{equation} 初期位相 \left\{ \begin{array}{l} \phi_1＝45\,\rm{deg}\\ \phi_2＝20\,\rm{deg} \end{array} \right. \end{equation}$$
合成(単振動の合成)した運動$x$は，加法定理より， $$\begin{align} x &＝x_1＋x_2\\ &＝X\cos(\omega t＋\phi)\\ &＝X(\cos\phi \cdot \cos\omega t－\sin\phi \cdot \sin\omega t) \end{align}$$ $x_1$，$x_2$を代入すると， $$X\cos\phi＝6.819\\ X\sin\phi＝3.831$$ 合成した振幅(変位)$X$は， $$\begin{align} X &=\sqrt{\left(X \sin\phi \right)^2+\left(X \cos\phi \right)^2}\\ &=\sqrt{6.819^2+3.831^2}\\ &=7.821\,\rm{mm} \end{align}$$ $$∴X＝7.82\,\rm{mm}$$ 合成した位相$\phi$ $$\frac{X \sin\phi}{X \cos \phi}= \tan \theta =\frac{3.831}{6.819}$$ $$\therefore \phi＝29.3\,\rm{deg}$$ 最大速度$v_{max}$ $$v=\frac{dx}{dt}=X\omega \cos(\omega t + \phi)より$$ $$\begin{align} v_{max} &＝X\omega \\ &＝7.821\,\rm{mm}\times 5\pi\,\rm{rad/s}＝122.8\,\rm{mm/s} \end{align}$$ $$\therefore v_{max} ＝0.123\,\rm{m/s}$$ 最大加速度$\alpha_{max}$ $$\alpha = \frac{dv}{dt}=-X\omega^2\sin(\omega t+\phi)より$$ $$\begin{align} \alpha_{max} & ＝X\omega^2\\ &＝7.821\,\rm{mm}×\left(5\pi\,\rm{rad/s}\right)^2＝1.929\,\rm{m/s^2} \end{align}$$ $$\therefore \alpha_{max} ＝1.93\,\rm{m/s^2}$$