\noindent{\bf 方針} \begin{enumerate} \item 管型反応器では、各場所では時間的に濃度は変化しないので 定常状態である。 \item モル流量$F_{A}$は、反応器体積$V$の関数とみれる。 \item $F_{A}(V)$に関して、1次近似式 $\displaystyle F_{A}(V+\varDelta V)\doteqdot F_{A}(V)+\frac{dF_{A}}{dV}\varDelta V$ が成り立つ。 \item Aの反応率$x_{A}$は、$\displaystyle x_{A}=\frac{F_{A 0}-F_{A}}{F_{A 0}}$により 定義される。 \end{enumerate} \noindent {\bf 解答} 微小部分$\varDelta V$では$(流入量)=(流出量)+(反応量)$である。 流入量は$F_{A}(V)$、流出量は$F_{A}(V+\varDelta V)$、 そして反応量は$(-r_{A})\varDelta V$であり、$F_{A}$の1次近似式 \[F_{A}(V+\varDelta V)\doteqdot F_{A}(V)+\frac{dF_{A}}{dV}\varDelta V\] を利用すると、微小部分では \[ F_{A}(V)=\left\{F_{A}(V)+\frac{dF_{A}}{dV}\varDelta V\right\} +(-r_{A})\varDelta V \] が成り立つ．したがって、 \begin{equation} \frac{dF_{A}}{dV}=r_{A} \end{equation} である．ここで、反応率$x_{A}$の定義から $$x_{A}=\frac{F_{A 0}-F_{A}}{F_{A 0}} \qquad よって\qquad F_{A}=F_{A 0}(1-x_{A})$$ であるから、 $$\frac{dF_{A}}{dV}=-F_{A 0}\frac{dx_{A}}{dV}$$ である。したがって、 \begin{align*} -F_{A 0}\frac{dx_{A}}{dV}=r_{A} \qquad すなわち\qquad \frac{dV}{F_{A 0}}=\frac{dx_{A}}{-r_{A}} \end{align*} が得られる。

\noindent {\bf 方針} \begin{enumerate} \item 置換積分の公式 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}F(x(t))\cdot\frac{dx}{dt}\cdot dt =\int_{a}^{b}F(x)\,dx$ $(x(\alpha)=a,\,x(\beta)=b)$ \item 流量速度が$v_0$、モル濃度$C_{A}$のとき、 モル流量$F_{A}$は、$F_{A}=v_0C_{A}$である。 \end{enumerate} {\bf 解答} 物質収支式が \[\frac{dV}{F_{A 0}}=\frac{dx_{A}}{-r_{A}}\] であるから、 \[\frac1{F_{A 0}}\cdot dV =\frac1{-r_{A}}\cdot \frac{dx_{A}}{dV}\cdot dV\] である。両辺を$V$で積分すると、置換積分の公式より \[\frac1{F_{A 0}}\int_{0}^{V}\,dV =\int_{0}^{V}\frac1{-r_{A}}\cdot \frac{dx_{A}}{dV}\cdot dV =\int_{0}^{x_{A}}\frac1{-r_{A}}\cdot dx_{A}\] である。したがって、 \[\frac{V}{F_{A 0}}=\int_{0}^{x_{A}}\frac{dx_{A}}{-r_{A}}\] が成り立つ。 流量速度$v_0$は単位時間当たりに流れる液体の体積であり、 $F_{A 0}=v_0 C_{A 0}$であるから、 \[ \frac{V}{v_0}=C_{A 0}\int_{0}^{x_{A}}\frac{dx_{A}}{-r_{A}} \] となる．これが、求める設計方程式である．

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 初期値である$C_{A 0}, C_{B 0}$は定数である。 \item (2) A, Bのモル濃度$C_{A}, C_{B}$は、 反応時間$t$の経過につれ減少する関数である。 \item (3) Aの反応率$x_{A}$は、$\displaystyle x_{A}(t)=\frac{C_{A 0}-C_{A}(t)}{C_{A 0}}$ により定義される。 \item (4) 与えられた反応式では、Aが1mol 反応すると、Bは2mol反応する。 \end{enumerate} {\bf 解答} Aの反応率の定義から \[x_{A}(t)=\frac{C_{A 0}-C_{A}(t)}{C_{A 0}} \qquad したがって\qquad C_{A}(t)=C_{A 0}(1-x_{A}(t)) \] である．また、与えられた反応式より、 Aが 1mol 反応するとBは 2mol 反応するので、 \[C_{B}(t)=C_{B 0}-2C_{A 0}x_{A}(t) =C_{A 0}\left(\frac{C_{B 0}}{C_{A 0}}-2x_{A}(t)\right) \] である．したがって、反応速度$r_{A}$は反応率$x_{A}$を用いて \[r_{A}=-kC_{A}C_{B} =-kC_{A 0}^2(1-x_{A})\left(\frac{C_{B 0}}{C_{A 0}}-2x_{A}\right)\] と表される．

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 微小部分における物質収支式は、 $\displaystyle \frac{dV_{P}}{F_{A 0}}=\frac{dx_{A}}{-r_{A}}$である。 \item (2) 物質収支式を反応器全体で積分することにより、 設計方程式は \[ \frac{V_P}{v_0}=C_{A_0}\int_{0}^{x_A}\frac{dx_A}{-r_A} \] である。 \item (3) 反応速度$r_{A}$と反応率$x_{A}$の間には、 \[r_{A}=-kC_{A}C_{B} =-kC_{A 0}^2(1-x_{A})\left(\frac{C_{B 0}}{C_{A 0}}-2x_{A}\right)\] という関係がある。 \end{enumerate} {\bf 解答} 管型反応器全体の設計方程式は \begin{eqnarray} V_{P} &=&v_0C_{A 0}\int_0^{x_{A}}\frac{dx_{A}}{-r_{A}}\nonumber\\ &=&v_{0}C_{A_0}\int_0^{x_{A}}\frac{dx_A}{kC_{A_0}^2(1-x_A) \left(\frac{C_{B_0}}{C_{A_0}}-2x_{A}\right)}\nonumber\\ &=&\frac{v_0}{2kC_{A_0}} \int_0^{x_{A}}\frac{dx_A}{(1-x_A) \left(\frac{C_{B_0}}{2C_{A_0}}-x_{A}\right)}\nonumber \end{eqnarray} である．与えられた条件から、 \[\frac{C_{B_0}}{2C_{A_0}}=\frac{15.0\times 10^3}{2\times 3\times 10^3} =2.5\] であるので、反応器体積は \[V_{P} =\frac{v_0}{2kC_{A_0}} \int_0^{x_{A}}\frac{dx_A}{(1-x_A)(2.5-x_{A})} \] を計算すればよい． 上式の右辺を部分分数に分解して積分する$^{(注1)}$． $x_{A}$は反応率であるから$0<x_{A}<1$であることに注意すると、 \begin{eqnarray*} V_{P} &=&\frac{v_0}{2kC_{A_0}} \int_0^{x_{A}} \frac1{1.5}\left(\frac1{1-x_{A}}-\frac1{2.5-x_{A}}\right)\\ &=&\frac{v_0}{3kC_{A 0}} \bigg[-\ln(1-x_{A}) +\ln(2.5-x_{A})\bigg]_0^{x_{A}}\\ &=&\frac{v_0}{3kC_{A 0}} \left\{\ln\left(\frac{2.5-x_{A}}{1-x_{A}}\right)-\ln(2.5)\right) \\ &=&\frac{v_0}{3kC_{A 0}} \ln\left\{\frac{2.5-x_{A}}{2.5(1-x_{A})}\right\} \end{eqnarray*} である． 与えられた値を代入することにより、 $V_{P}$は次の式で表される． \begin{equation} V_{P}=1.39\times 10^{-1}\times\ln\left\{\frac{2.5-x_{A}}{2.5(1-x_{A})}\right\} \end{equation} したがって、$x_{A}=0.75$のときの反応器体積は、 \[ V_{P} =1.39\times 10^{-1}\times \ln\left\{\frac{2.5-0.75}{2.5(1-0.75)}\right\}=0.143\,\rm m^3 \] である。 \noindent {\bf 【注1】}　 式(4)の被積分関数を部分分数に分解するには、下記の手順による． \[ \frac1{(1-x_{A})(2.5-x_{A})}= \frac{a}{1-x_{A}}+\frac{b}{2.5-x_{A}} \] とおいて分母を払うと、 \[1=a(2.5-x_{A})+b(1-x_{A})\] となる． ここで、右辺の各項を0にする値を$x_{A}$に代入する． \begin{align*} &x_{A}=1　 を代入すると　 1=1.5a　 したがって　 a=\frac1{1.5}\\ &x_{A}=2.5　 を代入すると　 1=-1.5b　 したがって　 b=-\frac1{1.5}\end{align*} が得られる。 これを、{\bf 数値代入法}という． あるいは、$x_{A}$について整理すると \[1=(2.5a+b)-(a+b)x_{A}\] となるので、両辺の係数を比較することにより連立方程式 \[2.5a+b=1,　　 a+b=0\] が得られる．これを解くことでも求められる． この求め方を{\bf 係数比較法}という． 分母が1次式の積に因数分解できるときは、 数値代入法による方が簡単である．

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 対数と指数の関係より、$r=\ln M$ のとき、$M=\exp(r)$である。 \item (2) 反応率$x_{A}$より反応器体積を求めるには、 式(6)を$x_{A}$について解けばよい． \item (3) $\displaystyle a=\frac{2.5-x}{2.5(1-x)}$を$x$について解くには、 分母を払った式$2.5(1-x)a=2.5-x$を$x$について整理すれば良い。 \end{enumerate} {\bf 解答} \begin{align*} V_{P}=1.39\times 10^{-1}\times\ln\left\{\frac{2.5-x_{A}}{2.5(1-x_{A})}\right\} \end{align*} であるから、 \begin{align*} \ln\left\{\frac{2.5-x_{A}}{2.5(1-x_{A})}\right\} =\frac{V_{P}}{1.39\times 10^{-1}}=7.20\,V_{P} \end{align*} である．与えられた条件から$V_{P}=0.20$であるので、 \begin{align*} \ln\left\{\frac{2.5-x_{A}}{2.5(1-x_{A})}\right\} =7.20\times 0.20=1.44 \end{align*} となる．これを指数の式に直すと、 \begin{align*} \frac{2.5-x_{A}}{2.5(1-x_{A})}=e^{1.44}　　したがって 　　 2.5-x_{A}=2.5\times\, e^{1.44}(1-x_{A}) \end{align*} となる．$x_{A}$について整理すると \begin{align*} \left(2.5 e^{1.44}-1\right)x_{A}=2.5\left(e^{1.44}-1\right) \end{align*} となるので、求める反応率は次のようになる． \begin{equation*} x_{A}=\frac{2.5 e^{1.44}-1}{2.5 e^{1.44}-1} =\frac{2.5(1-e^{-1.44})}{2.5-e^{-1.44}} =0.843 \end{equation*}