\[\begin{align} F_p &=0.1 \times 10^6 \times 30 \times 10^{-4}\\ &=3\times 10^2 \,\rm{N} \end{align}\]

$(1)$ \[\begin{align} p_A &=p_0 + s \rho_w g h_1\\ &=0.1013 \times 10^6 + 800 \times 9.8 \times 1.3 \\ &=111492 \,\rm{Pa}\\ &=111 \,\rm{kPa} \end{align}\] $(2)$ \[\begin{align} p_D = p_A+ \rho_w g h_2 &=111492+1000 \times 9.8 \times 1\\ &=121292 \,\rm{Pa}\\ &=121 \,\rm{kPa} \end{align}\]

$(1)$ \[\begin{align} p_G = \rho_mgh &=13600 \times 9.8 \times 0.4\\ &=53312 \,\rm{Pa}\\ &=533\,\rm{hPa} \end{align}\] $(2)$ \[\begin{align} p_{abs}=p_0+p_G &=99500+53312\\ &=152812 \,\rm{Pa}\\ &=1528 \,\rm{hPa}\\ &=153 \,\rm{kPa} \end{align}\]

\[\begin{align} p_{abs} = p_0 - s\rho_{w}gh &=99500 - 13600 \times 9.8 \times 0.4\\ &=46188 \,\rm{Pa}\\ &=462 \,\rm{hPa} \end{align}\]

\[ 0.3512+0.1013=0.4525\,\rm{MPa} \]

$(1)$ \[\begin{align} p=\rho_mgh_2 &=13600\times 9.8\times 0.3\\ &=39984\,\rm{Pa}\\ &=40.0\,\rm{kPa} \end{align}\] $(2)$ \[\begin{align} p_A=p+\rho_m gh_1 &=39984+100\times 9.8\times 1\\ &=49784\,\rm{Pa}\\ &=49.8\,\rm{kPa} \end{align}\]

\[ フープ応力は \ \sigma = \frac{pD}{2\tau} \] \[ \sigma \le \sigma_aより \ \frac{pD}{2\tau}\le \sigma_a \] \[\begin{align} p\le \frac{2\tau \sigma_a}{D}&=\frac{2 \times 5 \times 10^{-3} \times 100 \times 10^6}{180 \times 10^{-3}}\\ &=5.555\ldots\\ &=5.56 \,\rm{MPa} \end{align}\]

$(1)$ \[ F= \rho g y_GA\\ ここでy_G=1.6 \, \mathrm{m} , \, A=1.2 \, \mathrm{m^2}\\ \begin{align} F &=1000\times 9.8\times 1.6 \times 1.2\\ &=18816 \,\rm{N}\\ &= 18.8 \,\rm{kN} \end{align}\] $(2)$ 幅$b$，高さ$h$の長方形ゲートの図心を通る水平軸まわりの断面$2$次モーメントは$I_G=bh^3/12$となるので， \[\begin{align} I_G =\frac{bh^3}{12}&=\frac{1\times1.2^3}{12}\\ &=0.144 \,\rm{m^4} \end{align}\] $(3)$ \[\begin{align}y_C=y_G+\frac{I_G}{y_G A} &=1.6+\frac{0.144}{1.6\times 1.2}\\ &=1.675\\ &=1.68 \,\rm{m} \end{align}\] (解説) 平版に作用する全圧力 図を参考に，実際の圧力分布$p(y)$による力と同等の作用をもたらす仮想の力$F$を考える． Gはゲートの図心であり，位置座標$y=y_G$，Cは圧力中心であり，位置座標$y=y_C$とする． ゲートに働く全圧力$F$は，微小要素$dA$に働く全圧力$dF=pdA$の面積分(総和)に等しいので， \[ F=\int_ApdA=\int_A\rho gydA= \rho g\int_A ydA \ \ \ \cdots(1)' \] 一方，図心の定義より， \[ y_GA=\int_A ydA\\ y_G=\frac{\int_AydA}{A} \ \ \ \cdots(2)' \] 式$(1)'$，$(2)'$により， \[ F=\rho gy_GA\ \ \ \cdots(3)' \] を得る． %=image:/media/2015/02/18/142422769043177500.png: 次に，全圧力$F$(仮想の集中ベクトル)の作用点C(圧力中心)，位置座標$Y_C$を求めたい． $o-x$軸まわりのモーメントバランスにより， \[ (Fがつくるモーメント)=(圧力分布pがつくるモーメント)\] \[ Fy_C=\int_A ydF\\ Fy_C=\int_A y(pdA)\\ \] ここで，$F=\rho gy_GA，p=\rho gy $より \[ \rho gy_GAy_C=\rho g\int_Ay^2dA\\ \therefore y_C=\frac{\int_A y^2dA}{y_G A} \] ここで，$\int_Ay^2dA$を断面$2$次モーメントと呼ぶ． $I_X\equiv \int_Ay^2dA$とおいて， \[ y_C=\frac{I_x}{y_GA} \ \ \ \cdots(4)' \] さらに，平行軸の定理より， \[ I_x=I_G+Ay_G^2\ \ \ \cdots(5)' \] 式$(5)'$を式$(4)'$に代入して， \[ y_C=y_G+\frac{I_G}{y_GA}\ \ \ \cdots(6)' \] を得る． (注意) $p=\rho gy$の表現について，大気圧$p_0$はゲートの周囲で相殺されるので考慮しない(ゲージ圧の表現となる)ことに注意されたい． 断面$2$次モーメントの計算例 幅$b$，高さ$h$の長方形ゲートの場合， \[ dA=bdy \] \[\begin{align} I_G &=\int_Ay^2dA\\ &=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}y^2bdy\\ &=2\int_{0}^{\frac{h}{2}}y^2bdy\\ &=2b\left[\frac{h^3}{3} \right]^{\frac{h}{2}}_0\\ &=\frac{bh^3}{12} \end{align}\] %=image:/media/2015/01/15/142125786463609000.png:

$(1)$ \[ h_G= y_G\sin\theta= 1.5\sin60^\circ\\ A=\frac{\pi}{4}d^2=\frac{\pi}{4} \] \[ \begin{align} F=\rho g h_G A &=1000\times 9.8\times \frac{\pi}{4} \times 1.5\sin60^\circ\\ &=9998.57\\ &=10.0 \,\rm{ kN} \end{align}\] $(2)$ \[\begin{align} I_G =\frac{\pi d^4}{64}&=0.049087\\ &=0.0491 \,\rm{ m^4} \end{align}\] $(3)$ \[\begin{align} h_C=\left(y_G+\frac{I_G}{y_G A}\right)\sin\theta &=\left(1.5+\frac{0.04909}{1.5\times \frac{\pi}{4}}\right)\sin60^\circ\\ &=1.335\\ &=1.34 \,\rm{ m} \end{align}\]

$(1)$ \[\begin{align} F_H=\rho g y_G A_H &=1000 \times 9.8 \times(2+1.3) \times (2.6\times 1)\\ &=94084 \,\rm{N} \end{align}\] \[\begin{align} F_V=\rho g V &=1000 \times 9.8 \times\left\{(4+4.2) \times1\right\}\\ &=80360 \,\rm{ N} \end{align}\] 全圧力の大きさは \[\begin{align} F&=\sqrt{{F_H}^2+{F_V}^2}\\ &=116.3\times10^3\ \rm{N}\\ &=116\ \,\rm{kN} \end{align}\] $(2)$ \[ \alpha=\tan^{-1}\frac{F_V}{F_H}=43.7^\circ \] (解説) 曲面に作用する全圧力 図を参考に，微小要素$dA$に働く全圧力は， \[ dF=pdA \] 全圧力$dF$を直交分解して考える． \[\begin{align} dF_x &=dF\cos\theta\\ &=pdA\cos\theta\\ &=pdA_x\ \ \ \cdots(1)' \end{align}\] \[\begin{align} dF_y &=dF\sin\theta\\ &=pdA\sin\theta\\ &=pdA_y\ \ \ \cdots(2)' \end{align}\] ここで，$dA_x$は微小面積$dA$の$x$方向の投影面積，$dA_y$は微小面積$dA$の$y$方向の投影面積． 圧力$p=\rho gy$として，式$(1)'$，$(2)'$の両辺を積分して， \[\begin{align} F_x &=\int_{A_x}pdA_x\\ &=\int_{A_x}\rho gydA_x\\ &=\rho g\int_{A_x}ydA_x\\ &=\rho g y_G A_x \ \ \ \cdots(3)' \end{align}\] 図心の定義 $\ y_G=\frac{\int_{A_x} ydA_x}{A_x}$ \[\begin{align} F_y &=\int_{A_y}pdA_y\\ &=\int_{A_y}\rho gydA_y\\ &=\rho g\int_{A_y}ydA_y\\ &=\rho g \int^{x_2}_{x_1}y\cdot b(x)dx\\ &=\rho g V\ \ \ \cdots(4)' \end{align}\] ここで，$V$は曲面から水面までの容積である． すなわち，$\rho gV$はゲート上の容積分の浮力，あるいは重力に等しい． 全圧力は \[ F=\left(F_x,F_y\right) \] Fの大きさは \[ F=\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2}\\ \] Fの方向は \[ \theta=\tan^{-1}\frac{F_y}{F_x}\\ \] %=image:/media/2015/01/15/142125795512305000.png:

$(1)$ 重力と浮力のつり合いより， \[ \rho_wsgbhl=\rho_wgbdl\\ sh=d\\ \therefore d=hs \] $(2)$ \[\begin{align} \overline{GC} &=\frac{h}{2}-\frac{d}{2}\\ &=\frac{h}{2}-\frac{hs}{2}\\ &=\frac{h}{2}(1-s) \end{align}\] $(3)$ \[\begin{align} \overline{GM} &=\frac{I}{V'}-\overline{GC}\\ &=\frac{\frac{lb^3}{12}}{bdl}-\frac{h}{2}(1-s)\\ &=\frac{b^2}{12hs}-\frac{h}{2}(1-s) \end{align}\] $(4)$ \[\begin{align} \overline{GM} &=\frac{b^2}{12hs}-\frac{h}{2}(1-s)\\ &=\frac{6^2}{12\times 3\times0.6}-\frac{3}{2}(1-0.6)\\ &=1.0666\ldots \end{align}\] \[ \therefore \overline{GM}>0より安定である \] $(5)$ \[\begin{align} T&=W\overline{GM}\sin10^\circ\\ &=600\times (3\times 6 \times 10)\times 9.8 \times 1.0666 \times \sin10^\circ\\ &=196029\ldots\\ &=196\,\rm{kN} \end{align}\]

$(1)$ \[ p\cdot dA-\left( p+\frac{\partial p}{ \partial y}dy \right)dA-\rho \cdot dA\cdot dy\cdot g=0\\ \frac{\partial p}{ \partial y}dy\cdot dA=\rho \cdot dA \cdot dy \cdot g\\ \frac{\partial p}{ \partial y}=-\rho g \] $(2)$ \[ P\cdot dA-\left( p+\frac{\partial p}{ \partial x}dx \right)dA-\rho \cdot dA\cdot dx\cdot a=0\\ \frac{\partial p}{ \partial x}dx\cdot dA=\rho \cdot dA \cdot dx \cdot a\\ \frac{\partial p}{ \partial x}=-\rho a \] $(3)$ \[\begin{align} dp &=\left(\frac{\partial p}{ \partial x} \right)dx+\left(\frac{\partial p}{ \partial y} \right)dy\\ &=-\rho\cdot a \cdot dx-\rho\cdot g \cdot dy\\ \end{align}\] \[ 自由表面は等圧だから，dp=0 \] \[ \therefore 0=-\rho\cdot a \cdot dx-\rho\cdot g \cdot dy\\ dy=-\frac{a}{g}dx \] \[ 両辺を積分して，\\ y=-\frac{a}{g} x + C\\ ここで，x=0 \ で \ y=0 \ より \ C=0\\ \therefore y=-\frac{a}{g}x \] $(4)$ \[ \tan\theta=-\frac{a}{g}\\ \theta=\tan^{-1}\left(-\frac{a}{g} \right) \] $(5)$ あふれる臨界の傾きは， \[ \frac{a}{g}\leqq \frac{(2-1.5)\times 2}{2}=0.5\\ a\le 9.8\times 0.5 =4.9\\ \therefore 4.9\,\rm{m/s^2}以下 \]

$(1)$ \[ p\cdot dA-\left(p+\frac{\partial p}{\partial y} dy \right)dA-\rho \cdot dA\cdot dy\cdot g=0\\ \frac{\partial p}{\partial y}dy = -\rho \cdot dy \cdot g\\ \therefore \frac{\partial p}{\partial y} = - \rho g \] $(2)$ \[ p\cdot dA \cdot dr \cdot r\omega^2+p\cdot dA- \left(p+\frac{\partial p}{\partial r}dr \right)=0\\ \rho \cdot dr \cdot r\omega^2- \frac{\partial p}{\partial r}dr=0\\ \therefore \frac{\partial p}{\partial r}=\rho r \omega^2 \] $(3)$ \[ dp=\left(\frac{\partial p}{\partial r} \right)dr + \left(\frac{\partial p}{\partial y} \right)dy\\ dp=\rho r \omega^2\cdot dr+\rho g \cdot dy\\ \] 液面では$dp=0$だから，液面の微分方程式は \[ \rho g \cdot dy=\rho r \omega^2\cdot dr \] \[ \frac{\partial p}{\partial r}=\frac{r \omega^2}{g} \] 両辺を積分して \[ y=\frac{\omega^2 r^2}{2g}+C \] ここで$r=0$で$y=0$だから， \[ C=0 \] \[\therefore y=\frac{\omega^2 r^2}{2g} \]