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例題集 / 機械 / 伝熱工学（V-A-4 熱流体） / 伝導伝熱
伝導伝熱(1) フーリエの式
理解レベル
難易度: ★★
厚さ$90\ \rm{mm}$の鉄製の壁があり，その内側の表面温度が$50\rm{^\circ C}$，外側の表面温度が$5\rm{^\circ C}$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，鉄の熱伝導率は，$54\ \rm{W/(m\cdot K)}$とし，熱伝導は厚み方向のみに起こるものとする．
$(1)$
壁の広さ$1.5\ \rm{m^2}$を通過する単位時間当たりの熱流量[W]を求めよ．
$(2)$
この壁の内側表面から厚さ方向に$60\ \rm{mm}$入った位置の温度$\rm[^\circ C]$を求めよ．
解答例・解説
$(1)$
\[
\begin{align}
\frac{50-5}{0.09}\times54\times1.5&=40500\\
&=\underline{40500\ \rm{W}}
\end{align}
\]
$(2)$
\[
\begin{align}
\frac{5-50}{0.09}\times0.06+50&=20\\
&=\underline{20\rm{^\circ C}}
\end{align}
\]
伝導伝熱(2) 多重平板の定常熱伝導
適用レベル
難易度: ★★★
図に示すような鉄板(厚み$30\,\rm{mm}$)と銅版(厚み$52\,\rm{mm}$)で，発熱量$60.9\,\rm{kW/m^2}$のヒーターをはさんだ物体があり，鉄板側の表面温度が$600^\circ \rm{C}$，銅版側の表面温度が$50^\rm\circ C$に維持されているとき，次の問いに答えよ．
ただし，鉄板および銅版の熱伝導率は，それぞれ$54\, \rm W/(m\cdot K)$，$390\,\rm W/(m\cdot K)$であり，熱は厚み方向にしか流れないものとし，ヒーターの厚みは無視できるとする．
%=image:/media/2015/01/15/142125719371610000.png:
$(1)$
図に示すように，$q_1,q_2$をそれぞれ鉄板および銅版中を流れる熱流束$[\rm kW/m^2]$(右方向を正)としたとき，両者に成り立つ関係を式で示せ．
$(2)$
ヒーターの温度$[^\rm\circ C]$を求めよ．
$(3)$
鉄板および銅版を流れる熱流束$[\rm kW/m^2]$をそれぞれ求めよ．
解答例・解説
$(1)$
\[
q_2=q_1+60.9
\]
$(2)$
ヒーターの温度を$T$で表すと
\[
\begin{align}
q_1&=\frac{(600-T)}{0.03}\times\frac{54}{1000}\\
q_2&=\frac{(T-50)}{0.052}\times\frac{390}{1000}\\\\
(1)の式に代入すると\ &\\
(600-T)\frac{54}{30}+60.9&=(T-50)\frac{390}{52}\\
\left(\frac{390}{52}+\frac{54}{30}\right)T&=\frac{600\times54}{30}+60.9+\frac{50\times390}{52}\\
\therefore T&=\underline{163}
\end{align}
\]
$(3)$
\[
\begin{align}
\frac{600-163}{0.03}\times\frac{54}{1000}&=\underline{786.6\, \rm{kW/m^2}}\\
\frac{163-50}{0.052}\times\frac{390}{1000}&=\underline{847.5\, \rm{kW/m^2}}\\
\end{align}
\]
伝導伝熱(3) 定常熱伝導の温度分布
適用レベル
難易度: ★★★
図に示すように，高温熱源(温度$T_1$)と低温熱源(温度$T_2$)とが，長さ$L$の金属丸棒で接続されている．
丸棒の断面積$S$は両端で最も狭く，軸方向の中間位置で最も太くなった左右対称の形状である場合，この丸棒の軸方向の温度分布の様子を図中に描け．
ただし，丸棒の断面内の温度は均一であり，丸棒の表面から周囲(外界)への熱の逃げはない．
また，丸棒の熱伝導率は一様であるとする．
なお，温度分布を描く際には，図中の補助線を参考にせよ．
%=image:/media/2015/01/15/142125725163866200.png:
解答例・解説
%=image:/media/2015/01/15/142125734521808300.png:
伝導伝熱(4) 熱通過
適用レベル
難易度: ★★★
厚さ$96\,\rm{mm}$のコンクリート壁(熱伝導率$1.2\,\rm W/(m\cdot K)$)に囲まれた部屋がある．この壁と室内空気との間，および壁と外気の間の熱伝達率が，それぞれ$5\,\rm W/(m^2\cdot K)$，$20\,\rm W/(m^2\cdot K)$であるとき，次の問いに答えよ．
$(1)$
室内外の熱通過率$U[\rm W/(m^2\cdot K)]$を求めよ．
$(2)$
この内壁に板を貼り付けて通過熱流量を$1/2$にしたい．板材の熱伝導率を$0.069\rm \ W/(m\cdot K)$としたとき，板材に必要な厚さ$\delta \rm[m]$を求めよ．
解答例・解説
$(1)$
\[
\begin{align}
U&=\frac{1}{\frac{1}{5}+\frac{0.096}{1.2}+\frac{1}{20}}\\
&=\underline{3.03\, \rm{W/(m\cdot K)}}
\end{align}
\]
$(2)$
\[
\begin{align}
\frac{1}{\frac{1}{5}+\frac{0.096}{1.2}+\frac{1}{20}}&=\frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{0.096}{1.2}+\frac{\delta}{0.069}+\frac{1}{20}}\\
\frac{\delta}{0.069}&=\frac{1}{5}+\frac{0.096}{1.2}+\frac{1}{20}\\
\delta&=0.069\left(\frac{1}{5}+\frac{0.096}{1.2}+\frac{1}{20}\right)\\
&=0.02277=\underline{0.0228\, \rm{m}}
\end{align}
\]