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例題集 / 機械 / 機械力学（V-A-3 力学） / ＊ 連続体の振動
連続体の振動(1)
知識・記憶レベル
難易度: ★
次の問題のような弦の$1$次固有振動数$f$をそれぞれ求めよ．
$(1)$ 長さ$10\,\rm{cm}$，張力$100\,\rm{N}$，線密度$0.01\,\rm{kg/m}$
$(2)$ 長さ$1\,\rm{m}$，張力$100\,\rm{N}$，線密度$0.01\,\rm{kg/m}$
$(3)$ 長さ$1.5\,\rm{m}$，張力$20\,\rm{N}$，線密度$0.2\,\rm{kg/m}$
$(4)$ 長さ$100\,\rm{m}$，張力$200\,\rm{N}$，線密度$0.1\,\rm{kg/m}$
\[
\omega_i = \frac {i \cdot\pi \cdot c}{l}\hspace{20mm}
c = \sqrt \frac {T}{\rho}
\]
解答例・解説
$(1)$
\[
f_1
=
\frac{1}{2 × 10 × 10^{-2} \,\rm{m}}
\sqrt \frac {100 \,\rm{kg\cdot m/s^2}}{0.01\,\rm{kg/m}}
=
500 \,\rm{Hz}
\]
\[
\therefore500 \,\rm{Hz}
\]
$(2)$
\[
f_1
=
\frac{1}{2 × 1 \,\rm{m}}
\sqrt \frac {100 \,\rm{kg\cdot m/s^2}}{0.01\,\rm{kg/m}}
=
50 \,\rm{Hz}
\]
\[
\therefore50 \,\rm{Hz}
\]
$(3)$
\[
f_1
=
\frac{1}{2 × 1.5 \,\rm{m}}
\sqrt \frac {20 \,\rm{N}}{0.2\,\rm{kg/m}}
=
3.333 \,\rm{Hz}
\]
\[
\therefore3.33 \,\rm{Hz}
\]
$(4)$
\[
f_1
=
\frac{1}{2 × 100 \,\rm{m}}
\sqrt \frac {200 \,\rm{N}}{0.1\,\rm{kg/m}}
=
0.2236 \,\rm{Hz}
\]
\[
\therefore0.224 \,\rm{Hz}
\]
長さ$l$の両端支持はりのたわみ曲線を以下のように仮定したとき，レーリー法を用いて$1$次固有振動数$\omega$を求めよ．
たわみ曲線 :
$w(x)= W\left\{3\frac{x}{l} - 4\left( \frac{x}{l} \right)^3 \right\}$
$(0 \leqq x \leqq \frac{l}{2})$
運動エネルギ :
$T= \frac{1}{2} \int \rho A \left(\frac{\partial w}{\partial t} \right)^2 dx $
ひずみエネルギ :
$U= \frac{1}{2} \int EI \left(\frac{d^2 w}{d x^2} \right)^2 dx $
解答例・解説
変位を$w(x) \cdot \sin\omega t$とおくと，変位の最大値は$w(x) \cdot \omega$となることから，
\[
\begin{align}
T_{max}
&=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{l}{2}} \rho A \left[ W \left\{3 \frac{x}{l}-4 \left( \frac{x}{l} \right)^3 \right\} ・\omega\right]^2 dx \times 2 \\
&=\frac{1}{2} \rho A (W \omega)^2 \times 2 \int_{0}^{\frac{l}{2}} \left\{ 9 \frac{x^2}{l^2} -24 \frac{x^4}{l^4} -16 \frac{x^6}{l^6} \right\} dx \\
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{l}{2}} \left\{ 9 \frac{x^2}{l^2} -24 \frac{x^4}{l^4} -16 \frac{x^6}{l^6} \right\} dx
&=\left[ \frac{9^3}{l^2} \cdot \frac{x^3}{3}-\frac{24}{l^4}\cdot \frac{x^5}{5}+ \frac{16}{l^6}\cdot \frac{x^7}{7} \right]_0^{\frac{l}{2}} \\
&=\frac{3}{l^2} \left( \frac{l}{2} \right)^3- \frac{24}{5 l^4} \left( \frac{l}{2} \right)^5 + \frac{16}{7l^6} \left( \frac{l}{2} \right)^7 \\
&=\frac{3 l^3}{8l^2}- \frac{24l^5}{5\cdot 32l^4}+ \frac{16 l^7}{7\cdot 128l^6} \\
&= \left( \frac{3}{8}-\frac{3}{20}+\frac{1}{56} \right)l \\
&= \left( \frac{21}{56}+\frac{1}{56}-\frac{3}{20} \right)l \\
&= \left( \frac{22}{58}-\frac{3}{20} \right)l \\
&= \left( \frac{55}{140}-\frac{21}{140} \right)l \\
&=\frac{34}{140}l \\
&=\frac{17}{70}l
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
T_{max}
&=\frac{1}{2} \rho A (W \omega)^2 \times 2 \times \frac{17}{70}l \\
&=\frac{1}{2} \rho A (W \omega)^2 \cdot \frac{17}{35}l \\
\end{align}\]
\[
\begin{align}\frac{d^2 w}{dx^2}
&=\frac{d^2}{dx^2} \left[W\left\{ 3\cdot \frac{x}{l}-4 \left( \frac{x}{l} \right)^3 \right\}\right] \\
&=\frac{d}{dx} \left[ W \left\{ \frac{3}{l}- \frac{4}{l^3} \cdot 3x^2 \right\}\right] \\
&=W \left\{ -\frac{12}{l^3}\cdot 2x \right\} \\
&=-W\cdot \frac{24}{l^3}x
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
U_{max}
&=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{l}{2}} EI \left(-W \cdot \frac{24}{l^3}x\right)^2 dx \cdot 2 \\
&=\frac{1}{2} EI W^2\left( \frac{24}{l^3} \right)^2\times 2\int_{0}^{\frac{l}{2}} x^2dx \\
&=\frac{1}{2}EI W^2\left( \frac{24}{l^3} \right)^2 \times 2\left[ \frac{x^3}{3} \right]^{\frac{l}{2}}_0 \\
&=\frac{1}{2} EI W^2 \left( \frac{24}{l^3} \right)\times 2 \left\{ \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{l}{2} \right)^3 \right\} \\
&=\frac{1}{2}EI W^2 \frac{24^2}{l^6}\times 2 \times \frac{l^3}{3\times 8} \\
&=\frac{1}{2} EI W^2 \cdot \frac{48}{l^3}
\end{align}
\]
$T_{max}=U_{max}$より
\[
\frac{1}{2} \rho A l W^2 \omega^2 \cdot \frac{17}{35}
=\frac{1}{2}EI W^2 \cdot \frac{48}{l^3}
\]
\[
\begin{align}
\omega^2
&= \frac{48EI \frac{1}{l^3}}{\frac{17}{35} \cdot \rho A l} \\
\therefore m_b &= \rho A l\\
\omega
&= \sqrt{\frac{48 \times 35 \times EI}{17m_b l^3}} \\
&=9.941 \sqrt{\frac{EI}{m_b l^3}}
\end{align} \\
\]
\[
\therefore
\omega = 9.94 \sqrt{\frac{EI}{m_b l^3}}
\]