次の問題のような弦の$1$次固有振動数$f$をそれぞれ求めよ． $(1)$ 長さ$10\,\rm{cm}$，張力$100\,\rm{N}$，線密度$0.01\,\rm{kg/m}$ $(2)$ 長さ$1\,\rm{m}$，張力$100\,\rm{N}$，線密度$0.01\,\rm{kg/m}$ $(3)$ 長さ$1.5\,\rm{m}$，張力$20\,\rm{N}$，線密度$0.2\,\rm{kg/m}$ $(4)$ 長さ$100\,\rm{m}$，張力$200\,\rm{N}$，線密度$0.1\,\rm{kg/m}$ \[ \omega_i = \frac {i \cdot\pi \cdot c}{l}\hspace{20mm} c = \sqrt \frac {T}{\rho} \]

長さ$l$の両端支持はりのたわみ曲線を以下のように仮定したとき，レーリー法を用いて$1$次固有振動数$\omega$を求めよ． たわみ曲線 : $w(x)= W\left\{3\frac{x}{l} - 4\left( \frac{x}{l} \right)^3 \right\}$　 $(0 \leqq x \leqq \frac{l}{2})$ 運動エネルギ : $T= \frac{1}{2} \int \rho A \left(\frac{\partial w}{\partial t} \right)^2 dx $ ひずみエネルギ : $U= \frac{1}{2} \int EI \left(\frac{d^2 w}{d x^2} \right)^2 dx $