偶関数波であるので，$a_{n}=0$ である。 $0$から$\pi$ を2倍すればよいので，$b_{0}$ は次のようになる。 \begin{eqnarray} b_{0} &=& \frac{2}{2\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin x dx\nonumber\\ &=& \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin x dx = \frac{2}{\pi}\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi} \nonumber\\ &=&-\frac{2}{\pi}\left(\cos \pi - \cos 0\right) = -\frac{2}{\pi}\left(-1 - 1\right)\nonumber\\ &=& \frac{4}{\pi} \end{eqnarray} $b_{n}$ も$0$から$\pi$ を2倍すればよいので，次のようになる。 \begin{eqnarray} b_{n} &=& \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin x \cos nx dx\nonumber\\ \end{eqnarray} \reff{加法定理}{積を和・差に直す公式}を用いて \begin{eqnarray} b_{n} &=& \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\left(\sin(1+n)x + \sin(1-n)\right) dx\nonumber\\ &=& \frac{2}{\pi} \left( \left[\frac{-\cos(1+n)x}{1+n}\right]_{0}^{\pi} +\left[\frac{-\cos(1-n)x}{1-n}\right]_{0}^{\pi} \right)\nonumber\\ &=& \frac{2}{\pi} \left( \frac{-\cos(1+n)\pi-(-1)}{1+n} +\frac{-\cos(1-n)\pi-(-1)}{1-n} \right)\nonumber\\ &=& \frac{2}{\pi} \left( \frac{-\cos(1+n)\pi+1}{1+n} +\frac{-\cos(1-n)\pi+1}{1-n} \right)\nonumber\\ &=& \frac{2}{\pi} \left( \frac{-(-1)^{n+1}+1}{1+n} +\frac{-(-1)^{n-1}+1}{1-n} \right)\nonumber\\ &=& \frac{2}{\pi} \left( \frac{1-(-1)^{n+1}}{n+1} -\frac{1-(-1)^{n-1}}{n-1} \right)\nonumber\\ &=& \frac{2}{\pi} \left( \frac{(n-1)-(n-1)(-1)^{n+1}}{n^{2}-1}\right.\nonumber\\ &&\left.\frac{-(n+1)+(n+1)(-1)^{n-1}}{n^{2}-1}\right) \nonumber\\ &=& \frac{2}{\pi} \left( \frac{-2-(n-1)(-1)^{n+1} +(n+1)(-1)^{n-1} }{n^{2}-1}\right)\nonumber\\ \end{eqnarray} となることから，$n$ が奇数のとき \begin{eqnarray} b_{n}=\frac{2}{\pi} \left( \frac{-2-(n-1) +(n+1)}{n^{2}-1}\right)=0 \end{eqnarray} となる。$n$ が偶数のとき \begin{eqnarray} b_{n}&=&\frac{2}{\pi} \left( \frac{-2+(n-1) -(n+1)}{n^{2}-1}\right)\nonumber\\ &=& \frac{-8}{\pi(n^{2}-1)} \end{eqnarray} となる。よって，次のようになる。 \begin{eqnarray} i(x) &=& \underline{\frac{8}{\pi} \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cos 2x - \frac{1}{15}\cos 4x\right.}\nonumber\\ &&\underline{-\left. \frac{1}{35}\cos 6x - \cdots \right)} \end{eqnarray}