電圧と電流は次の関係がある。
\begin{eqnarray}
\frac{dV}{dx} = -ZI,~~
\frac{dI}{dx} = -YV
\end{eqnarray}
$Z=Z_{0}\varepsilon^{ax}$，$Y=Y_{0}\varepsilon^{-ax}$ より，
\begin{eqnarray}
\frac{dV}{dx} = -Z_{0}\varepsilon^{ax}I,~~
\frac{dI}{dx} = -Y_{0}\varepsilon^{-ax}V
\end{eqnarray}
さらに $x$ で\reff{微分}{導関数の計算}すると
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}V}{dx^{2}} &=&
-Z_{0}a\varepsilon^{ax}I-Z_{0}\varepsilon^{ax}\left(\frac{dI}{dx}\right)\nonumber\\
&=& a\frac{dV}{dx}-Z_{0}\varepsilon^{ax}(-Y_{0}\varepsilon^{-ax}V)
\nonumber\\
&=& a\frac{dV}{dx} + Z_{0}Y_{0}V
\end{eqnarray}
となり，整理すると
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}V}{dx^{2}}\underline{- a}\frac{dV}{dx} \underline{- Z_{0}Y_{0}}V = 0
\end{eqnarray}
となる。$V = A\varepsilon^{P x}$ とおいて代入する。
\begin{eqnarray}
A P^{2}\varepsilon^{P x} - Aa\gamma \varepsilon^{P x} -
Z_{0}Y_{0}A\varepsilon^{P x} = 0\nonumber\\
\Rightarrow ~~ P^{2} \underline{- a}P\underline{-
Z_{0}Y_{0}} = 0\nonumber\\
\end{eqnarray}
これを解くと
\begin{eqnarray}
P = \frac{a\pm \sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}
= \frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}
\end{eqnarray}
となる。
ここで，$\gamma = \frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}$ と定義すると
\begin{eqnarray}
P_{1} = \frac{a}{2} +\gamma,~~
P_{2} = \frac{a}{2} -\gamma
\end{eqnarray}
となる。
これを用いて電圧 $V$ は次のように表現することができる。
\begin{eqnarray}
V &=& A_{1}\varepsilon^{P_{1} x}+A_{2}\varepsilon^{P_{2} x}\nonumber\\
&=& A_{1}\varepsilon^{\left(\frac{a}{2} +\gamma\right)
x}+A_{2}\varepsilon^{
\left(\frac{a}{2} -\gamma\right) x}\\
&=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left(
A_{1}\varepsilon^{\gamma x} + A_{2}\varepsilon^{-\gamma x}
\right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\varepsilon^{\gamma x} = \sinh \gamma x + \cosh \gamma x
\\
-\varepsilon^{-\gamma x} = \sinh \gamma x - \cosh \gamma x
\end{eqnarray}
関係から
\begin{eqnarray}
V &=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left(
A_{1}(\sinh \gamma x + \cosh \gamma x)\right)\nonumber\\
&&\left. + A_{2}(-\sinh \gamma x + \cosh \gamma x)\right)\nonumber\\
&=& \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left(
(A_{1}+A_{2})\cosh \gamma x + (A_{1}-A_{2})\sinh \gamma x\right)\nonumber\\
\end{eqnarray}
となる。
\noindent
(a) = $-a$\par
(b) = $-Z_{0}Y_{0}$\par
(c) = $-a$\par
(d) = $-Z_{0}Y_{0}$\par
(e) = $\dfrac{a}{2}$\par
(f) = $\gamma$\par
(g) = $A_{1}+A_{2}$\par
(h) = $A_{1}-A_{2}$
