数学・工学事典

2次方程式

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2次方程式の解の公式

% $a$, $b$, $c$ を実数とするとき, $x$ に関する方程式 % \begin{align*} ax^2+bx+c=0 \quad (a\ne 0) \end{align*} % を\ommindex{2次方程式}{にじほうていしき}という。 この方程式の左辺は % \begin{align*} & ax^2+bx+c \\ &= a\left(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right) \\ &= a\left\{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right\} \\ &= a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right\} \\ &= a\left\{ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}^2\right\} \\ &= a \left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right) \left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right) \end{align*} % と変形できる。 ここで, 複号を $a$ の符号と同じものとすれば % \begin{align*} \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad \end{align*} % となるから, 与えられた2次方程式の解は % \begin{align*} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*} % となる。 これを2次方程式の\ommindex{解の公式}{かいのこうしき}という。 %

判別式

% 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$ に対して, % \begin{align*} D=b^2-4ac \end{align*} % とおく。 このとき, この2次方程式の解は, $D$ の符号によって次のように分類することができる。 % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac>0$ ならば2つの異なる\ommindex{実数解}{じっすうかい}をもつ。 \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac=0$ ならば ただ1つの解 $x=\displaystyle -\frac{b}{2a}$ をもつ。 これを\ommindex{2重解}{にじゅうかい}という。 \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac=0$ ならば2つの異なる\ommindex{虚数解}{きょすうかい}をもつ。 \end{enumerate} % 式 $D=b^2-4ac$ を2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の 解の\ommindex{判別式}{はんべつしき}という。 %

解と係数の関係

% 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると, これらの和, 積について % \begin{align*} \alpha+\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= -\frac{b}{a} \\ \alpha\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\ &= \frac{c}{a} \end{align*} % が成り立つ。 これら2つの式 % \begin{align*} \alpha+\beta=-\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{align*} % をまとめて, 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の \ommindex{解と係数の関係}{かいとけいすうのかんけい}という。 %

2次不等式

% $a$, $b$, $c$ を実数とするとき, $x$ に関する不等式 % \begin{align*} \begin{array}{ccc} ax^2+bx+c>0 && ax^2+bx+c<0 \\ ax^2+bx+c\geqq 0 && ax^2+bx+c\leqq 0 \end{array} \end{align*} % を\ommindex{2次不等式}{にじふとうしき}という。 $a<0$ のときは両辺に $-1$ をかけて不等号を逆転させることにして, ここでは $a>0$ であるとする。 このとき, これらの不等式の解は次のようになる。 ここで, 第1行目は2次方程式の実数解 $(\alpha<\beta)$ である。 % \begin{align*} % \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline & D>0 & D=0 & D<0 \\ \hline ax^2+bx+c=0 & x=\alpha, \beta & x=\alpha & 虚数解 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c>0 & x<\alpha, x>\beta & すべての実数 & すべての実数 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\geqq 0 & x\leqq \alpha, x\geqq\beta & x\ne \alpha & すべての実数 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c<0 & \alpha<x<\beta & 解なし & 解なし \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\leqq 0 & \alpha\leqq x\leqq \beta & x= \alpha & 解なし \\[0.5em] \hline \end{array} \end{align*} %