2次曲線
%
平面上の点 P から直線 $\ell$ に下ろした垂線と直線 $\ell$ との
交点を H とする。
$e$ を $0<e<1$ を満たす定数とするとき,
直線 $\ell$ と点 F に対して,
%
\begin{align*}
\frac{\text{PF}}{\text{PH}}=e
\end{align*}
%
を満たす曲線は
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$0<e<1$ のとき\ommindex{楕円}{だえん}
\item[(2)]
$e=1$ のとき\ommindex{放物線}{ほうぶつせん}
\item[(3)]
$e>1$ のとき\ommindex{双曲線}{そうきょくせん}
\end{enumerate}
%
という。
楕円,
放物線,
双曲線を総称して\ommindex{2次曲線}{2じきょくせん}という。
定数 $e$ を\ommindex{離心率}{りしんりつ}という。
2次曲線は別の定義の方法もある(以下の項目参照)が,
どちらも同じこととなる。
%
楕円
%
平面上の2点 F, F$'$ からの距離の和が一定である点の軌跡を
\ommindex{楕円}{だえん}といい,
F, F$'$ をその\ommindex{焦点}{しょうてん}という。
$a$, $c$ を $a>c$ を満たす正の定数とするとき,
焦点 F$(c,0)$, F$'(-c,0)$ からの距離の和が $2a$ であるような
楕円の方程式は
%
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\quad
(a^2=b^2+c^2)
\end{align*}
%
となる。
これを\ommindex{楕円の標準形}{だえんのひょうじゅんけい}という。
%
双曲線
%
平面上の2点 F, F$'$ からの距離の差が一定である点の軌跡を
\ommindex{双曲線}{そうきょくせん}といい,
F, F$'$ をその\ommindex{焦点}{しょうてん}という。
$a$, $c$ を $c>a$ を満たす正の定数とするとき,
焦点 F$(c,0)$, F$'(-c,0)$ からの距離の差が $2a$ であるような
双曲線の方程式は
%
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
\quad
(c^2=a^2+b^2)
\end{align*}
%
となる。
また,
焦点 F$(0,c)$, F$'(0,-c)$ からの距離の差が $2a$ であるような
双曲線の方程式は
%
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1
\quad
(c^2=a^2+b^2)
\end{align*}
%
となる。
これらを\ommindex{双曲線の標準形}{そうきょくせんのひょうじゅんけい}という。
%
放物線
%
平面上の直線 $\ell$ と点 F からの距離が等しい点の軌跡を
\ommindex{放物線}{ほうぶつせん}といい,
F をその\ommindex{焦点}{しょうてん},
直線 $\ell$ を\ommindex{準線}{じゅんせん}という。
$p$ を正の定数とするとき,
焦点 F$(p,0)$,
準線が $y=-p$ である放物線の方程式は
%
\begin{align*}
y^2=4px
\end{align*}
%
となる。
こらを\ommindex{放物線の標準形}{ほうぶつせんのひょうじゅんけい}という。
%