数学・工学事典

数列

% 一定の規則にしたがって並べられた数の列 % \begin{align*} a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots \end{align*} % を\ommindex{数列}といい, $\left\{a_n\right\}$ と表す。 数列に含まれる1つ1つの数を \ommindex{項}{こう}といい, とくに第1項 $a_1$ を \ommindex{初項}{しょこう}という。 数列の第 $n$ 項を $n$ の式で表したものを \ommindex{一般項}{いっぱんこう}という。 数列には, 項の数が有限個である \ommindex{有限数列}{ゆうげんすうれつ}と, 無限にたくさんの項を含む \ommindex{無限数列}{むげんすうれつ}がある。 %

等差数列

% 数列のうち, % \begin{align*} a,\,a+d,\,a+2d,\ldots \end{align*} % のように, ある項に一定の数 $d$ を加えて次の項が作られているものを \ommindex{等差数列}{とうさすうれつ}といい, $d$ をその\ommindex{公差}{こうさ}という。 初項が $a$, 公差が $d$ である等差数列の一般項は % \begin{align*} a_n=a+(n-1)d \end{align*} % となる。 また, 等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすれば, % \begin{align*} S_n &= \frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ &= \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*} % となる。 これを\ommindex{等差数列の和}{とうさすうれつのわ}の公式という。 %

等比数列

% 数列のうち, % \begin{align*} a,\,ar,\,ar^2,\ldots \end{align*} % のように, ある項に一定の数 $r$ をかけて次の項が作られているものを \ommindex{等比数列}{とうさすうれつ}といい, $r$ をその\ommindex{公比}{こうひ}という。 初項が $a$, 公比が $r$ である等差数列の一般項は % \begin{align*} a_n=a\,r^{n-1} \end{align*} % となる。 また, $r\ne 1$ のとき, 等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすれば, % \begin{align*} S_n &= \frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} = \frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \end{align*} % となる。 これを\ommindex{等比数列の和}{とうひすうれつのわ}の公式という。 %

数列の和

% 数列 $\left\{a_n\right\}$ の項の和を % \begin{align*} \sum_{k=1}^{n-1}a_k = a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n \end{align*} % と表す。 左辺は, $a_k$ の $k$ に $1$ から $n$ までの整数を代入したものを すべて加えて得られる結果を表す記号である。 $\sum$ を\ommindex{総和の記号}{そうわのきごう} または\ommindex{シグマ記号}{しぐまきごう}という。 総和の記号は次の性質をもつ。 ただし, $c$ は定数である。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(a_k+b_k\right) = \sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$ \item[(2)] $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k$ \item[(3)] $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c = nc$ \end{enumerate} % また, この記号を用いると, 次のようにして \ommindex{数列の和}{すうれつのわ}の公式を 表現することができる。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ \item[(2)] $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \item[(3)] $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ \end{enumerate} % %

漸化式

% 数列の隣り合ういくつかの項の間に成り立つ関係式を \ommindex{漸化式}{ぜんかしき}という。 等差数列の``ある項に $d$ を加えると次の項になる'' という性質は % \begin{align*} a_{n+1}=a_n+d \end{align*} % と, 漸化式によって表現される。 また, 等比数列の``ある項に $r$ をかけると次の項になる'' という性質は % \begin{align*} a_{n+1}=r\,a_n \end{align*} % と, 漸化式によって表現される。 3項の間に成り立つ漸化式を用いて % \begin{align*} a_1=a_2=1,\ a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1} \end{align*} % と定められる数列は, % \begin{align*} 1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13, \cdots \end{align*} % となる。 この数列を\ommindex{フィボナッチの数列}{ふぃぼなっちのすうれつ}という。 %

数列の極限

% $n$ を限りなく大きくしていくと, 数列の第 $n$ 項 $a_n$ の値が, 一定の値 $\alpha$ に限りなく近づいていくとき, 数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ に\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい, % \begin{align*} a_n\to \alpha\ (n\to \infty) \quad \mbox{または}\quad \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha \end{align*} % と表す。 $\infty$ は無限大と読み, 限りなく大きくなっていくことを表す。 このとき, $\alpha$ を $\{a_n\}$ の\ommindex{極限値}{きょくげんち}という。 数列 $\{a_n\}$ がどんな値にも収束しないとき, この数列は\ommindex{発散}{はっさん}するという。 発散する数列の中で, $n$ を限りなく大きくしていくと, $a_n$ の値が限りなく大きくなっていくとき, 数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ は $\infty$ に発散する % \begin{align*} a_n\to \infty\ (n\to \infty) \quad \mbox{または}\quad \lim_{n\to \infty}a_n=\infty \end{align*} % と表す。 また, $a_n$ の値が限りなく小さくなる (負の値で絶対値が限りなく大きくなっていく)とき, 数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ は $-\infty$ に発散するといい, % \begin{align*} a_n\to -\infty\ (n\to \infty) \quad \mbox{または}\quad \lim_{n\to \infty}a_n=-\infty \end{align*} % と表す。 発散する数列で, $\infty$ にも $-\infty$ にも発散しない数列は \ommindex{振動}{しんどう}するという。 $n$ が限りなく大きくなっていくときの $a_n$ の変化の様子を \ommindex{数列の極限}{すうれつのきょくげん}という。 %

数列の極限値の性質

% 数列 $\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$ がともに収束するとき, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ とすれば, 次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_n\pm b_n\right) = \alpha \pm \beta\quad (\mbox{復号同順})$ \item[(2)] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_nb_n\right) = \alpha\beta$ \item[(3)] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta} \quad (\mbox{ただし, $b_n\ne 0$, $\beta\ne 0$})$ \end{enumerate} % %

級数

% 無限数列 $\left\{a_n\right\}$ の各項を $+$ で結んだもの % \begin{align*} a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots \end{align*} % を, 数列 $\left\{a_n\right\}$ から作られる\ommindex{級数}{きゅうすう} または\ommindex{無限級数}{むげんきゅうすう}という。 級数に対して, % \begin{align*} S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \end{align*} % を第 $n$ \ommindex{部分和}{ぶぶんわ}という。 部分和の作る数列 $\left\{a_n\right\}$ が極限値 $S$ に収束するとき, この級数は\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい, % \begin{align*} S=a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots \end{align*} % と表す。 このとき, $S$ をこの\ommindex{級数の和}{きゅうすうのわ}という。 収束しない級数は\ommindex{発散}{はっさん}するという。 数列 $\left\{a_n\right\}$ から作られる級数が収束するとき, 数列 $\left\{a_n\right\}$ は $0$ に収束する。 %

等比級数

% 等比数列から作られる級数を \ommindex{等比級数}{とうひきゅうすう}という。 % \begin{align*} a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}+\cdots \end{align*} % は初項 $a$, 公比 $r$ の等比級数である。 等比級数は $|r|<1$ のときだけ収束し, % \begin{align*} a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}+\cdots = \frac{a}{1-r} \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{等級数の和}{とうひきゅうすうのわ}という。 %