例題：温度による粘度変化の読み取り

温度による粘度変化の読み取り

温度$t$における空気の粘度$\mu$の値を下表に示す. ここで$t$と$\mu$の間には, $\mu=At+B$ ($A,B$ は定数) の関係式が成り立つことがわかっている. % $$\begin{array}{|c|*{6}{c|}} \hline t\, \textrm{[${}^\circ$C]} & 10 & 20 & 30 & 50 & 80 \\\hline \mu\, \textrm{[mPa$\cdot$s]} & 0.0176 & 0.0181 & 0.0186 & 0.0195 & 0.0209 \\\hline \end{array}$$ % 係数$A,B$を最小二乗法で決定し, $t=43$[${}^\circ$C]のときの粘度を求めよ. ここで, 関数$y=Ax+B$ の係数 $A, B$ は最小二乗法を用いて, データ $x_i, y_i$ ($i=1,2,\dots, n$) から, 次式 (1) (2)で求められる. (1) $A=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nx_i\cdot \sum\limits_{i=1}^ny_i-n\sum\limits_{i=1}^n(x_iy_i)}{\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2-n \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n{x_i}^2}$ \bigskip (2) $B=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nx_i\cdot\sum\limits_{i=1}^n(x_iy_i)-\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\cdot\sum\limits_{i=1}^ny_i}{\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2-n \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n{x_i}^2}$

解答例・解説

{\bf 【解答】} $n=5$, $x_1=10$, $x_2=20$, $x_3=30$, $x_4=50$, $x_5=80$, $y_1=0.0176$, $y_2=0.0181$, $y_3=0.0186$, $y_4=0.0195$, $y_5=0.0209$ とすると, % $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nx_i=10+20+30+50+80=190$ $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^ny_i=0.0176+0.0181+0.0186+0.0195+0.0209=0.0947$ $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_iy_i)=10\times0.0176+20\times0.0181+30\times0.0186$ 　　　　　　　　　　　　　$+50\times0.0195+80\times0.0209=3.743$ $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n{x_i}^2=10^2+20^2+30^2+50^2+80^2=10300$ となる. (1)(2) に代入して % $$A=\displaystyle\frac{190\times0.0947-5\times3.743}{190^2-5\times 10300}=\frac{-0.722}{-15400}=4.69\times10^{-5}$$ $$B=\displaystyle\frac{190\times3.743-10300\times0.0947}{190^2-5\times 10300}=\frac{-264.24}{-15400}=0.0171$$ % したがって, $$\mu=4.69\times10^{-5} t+0.0171$$ である. $t=43$[${}^\circ$C] を代入すると, 求める粘度は $$\mu=4.69\times10^{-5}\times43+0.0171=0.0191 \textrm{[mPa$\cdot$s]}$$ となる. \bigskip 【注意】この問題は, 2変数 $t$と$\mu$ のデータから, $\mu$の$t$への回帰直線の方程式を求める問題と同じである. \bigskip 【参考事項】最小二乗法，回帰直線，数列の和

参考

数列の和（微分積分１）