数学・工学事典

積分法の応用

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面積

体積

% 空間の平面 $x=a$, $x=b$ に挟まれた部分にある立体の, $x$ 軸に垂直な面による断面積が $S(x)$ で表されるとき, この立体の体積を $V$ とするとき, 次が成り立つ。 % \begin{align*} V = \int_{a}^{b}V(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left\{f(\theta)\right\}^2\,dx \end{align*} % とくに, 関数 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で定義された, $f(x)\ge 0$ を満たす連続関数であるとするとき, $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸 および2直線 $x=a$, $x=b$ で囲まれる図形を, $x$ 軸を中心に回転してできる回転体は, その断面積が $S(x)=\pi\{f(x)\}^2$ となるから, その体積を $V$ とするとき, 次が成り立つ。 % \begin{align*} V=\pi\int_{a}^{b}\{f(x)\}^2\,dx \end{align*} % %

広義積分

積分区間の端点で定義されていない関数の積分や, 積分区間が有限でない積分を総称して \ommindex{広義積分}{こうぎせきぶん}という。 広義積分は次のように定義する。 右辺の極限値が存在しないときには, この広義積分は\ommindex{発散}するという。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 積分区間 $[a,b]$ の端点 $x=a$ で定義されていないとき。 % \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to +0}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx \end{align*} % \item[(2)] 積分区間 $[a,b]$ の端点 $x=b$ で定義されていないとき。 % \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to +0}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)\,dx \end{align*} % \item[(3)] 無限区間 $[a,\infty)$ における積分。 % \begin{align*} \int_{a}^{\infty}f(x)\,dx = \lim_{M\to \infty}\int_{a}^{M}f(x)\,dx \end{align*} % \item[(4)] 無限区間 $(-\infty,a]$ における積分。 % \begin{align*} \int_{-\infty}^{a}f(x)\,dx = \lim_{M\to \infty}\int_{-M}^{a}f(x)\,dx \end{align*} % \end{enumerate} % さらに, 次のように定める。 % \begin{enumerate} \item[(5)] 積分区間 $[a,b]$ の内部の点 $x=c$ で定義されていないとき。 2つの広義積分 $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$, $\displaystyle \int_{c}^{b}f(x)\,dx$ がともに有限確定値であるとき, % \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx \end{align*} % \item[(6)] 全区間 $(-\infty,\infty)$ における積分。 2つの積分 $\displaystyle \int_{a}^{\infty}f(x)\,dx$, $\displaystyle \int_{-\infty}^{a}f(x)\,dx$ が ともに有限確定値であるとき, % \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = \int_{a}^{\infty}f(x)\,dx+\int_{-\infty}^{a}f(x)\,dx \end{align*} % \end{enumerate} %

数値積分