数学・工学事典

2重積分

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2重積分

% $z=f(x,y)$ は領域 D で定義された2変数関数であるとする。 領域 D を $n$ 個の小領域 D$_{k}$ $(k=1,2,3,\ldots ,n)$ に分割し, $\varDelta{S}_k$ を D$_{k}$ の面積, 点 $(x_k,y_k)$ を D$_{k}$ に含まれる点とする。 このとき, $n$ を限りなく大きくし, 分割を限りなく細かくするときの極限値 % \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k,y_k)\varDelta{S}_k \end{align*} % が存在するとき, この極限値を, 領域 D における $f(x,y)$ の \ommindex{2重積分}{にじゅうせきぶん}といい, % \begin{align*} \int_{\text{D}}f(x,y)\,dS \quad \mbox{または}\quad \int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy \end{align*} % と表す。 このとき, 領域 D を\ommindex{積分領域}{せきぶんりょういき}という。 積分領域 D が, % \begin{align*} \{(x,y)\,|\,a\le x\le b,\,\varphi_1(x)\le y \varphi_2(x)\} \end{align*} % と表されているとき, % \begin{align*} \int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy = \int\left\{\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right\}dx \end{align*} % が成り立つ。 右辺の形の積分\ommindex{累次積分}{るいじせきぶん}という。 上の式は $y$ で積分してから $x$ で積分する形となっている。 これを % \begin{align*} \int\left\{\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right\}dx = \int\left\{\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx\right\}dy \end{align*} % のように, $x$ で積分してから $y$ で積分する形の直すこと, またはその逆の変形を, \ommindex{積分の順序変更}{せきぶんのじゅのへんこう}という。 %

2重積分の変数変換

% 2重積分において, $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ とおく。 積分領域 D に対応した $uv$ 平面上の領域を D$'$ とするとき, % \begin{align*} \int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy = \int\!\!\!\int_{\text{D}'}f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,dudv \end{align*} % が成り立つ。 ここで, $J$ は行列式 % \begin{align*} J = \left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[0.5em] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right| \end{align*} % であり, これを\ommindex{ヤコビ行列式}{やこびぎょうれつしき}という。 このように, 2重積分において, 別の変数の積分に直すことを \ommindex{変数変換}{へんすうへんかん}という。 とくに, 極座標を用いて $x=r\cos{\theta}$, $y=r\sin{\theta}$ とおくとき, % \begin{align*} J = \left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\[0.5em] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} -r\sin{\theta} & \cos{\theta} \\ r\cos{\theta} & \sin{\theta} \end{array}\right| = -r \end{align*} % となり, $r\ge 0$ であるから $|J|=r$ である。 したがって, % \begin{align*} \int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy = \int\!\!\!\int_{\text{D}'}f(r\cos{\theta},r\sin{\theta})\,r\,drd\theta \end{align*} % が成り立つ。 %