推定
%
この項では大きさ $n$ の標本は $X_1, X_2, \ldots, X_n$ は
互いに独立であるものとする。
標本を抽出したときの具体的な値を\ommindex{実現値}{じつげんち}といい,
小文字を用いて $x_1, x_2, \ldots, x_n$ と表す。
実現値から母平均,
母分散,
母比率などの母数の情報を得ることを\ommindex{推定}{すいてい}という。
ある統計量の平均が母数と一致するとき,
この統計量を\ommindex{不偏推定量}{ふへんすいていりょう}といい,
この統計量の実現値を\ommindex{不偏推定値}{ふへんすいていち}という。
母平均と母分散の不偏推定値は次のようになる。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
母平均の不偏推定値は標本平均の実現値 $\overline{x}$ である。
%
\begin{align*}
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{n=1}^{n}x_i
\end{align*}
%
\item[(2)]
母分散の不偏推定値は不偏分散の実現値 $u^2$ である。
%
\begin{align*}
u^2=\frac{1}{n-1}\sum_{n=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
不偏数定値により母数を推定することを\ommindex{点推定}{てんすいてい}という。
%
区間推定
%
推定したい母数を $\theta$ とする。
$0\le \alpha \le 1$ 満たす
定数 $\alpha$ (多くの場合 $0.05$ または $0.01$) に対して,
$\theta$ が閉区間 $[t_1,t_2]$ に含まれる確率が $1-\alpha$ であるとき,
すなわち
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\begin{align*}
P(t_1\le \theta\le t_2)=1-\alpha
\end{align*}
%
閉区間 $[t_1,t_2]$ を $100(1-\alpha)$\% の
\ommindex{信頼区間}{しんらいくかん}という。
信頼区間を求めることを\ommindex{区間推定}{くかんすいてい}といい,
$100(1-\alpha)$\% をこの区間推定の
\ommindex{信頼度}{しんらいど}または
\ommindex{信頼係数}{しんらいけいすう}という。
母平均の区間推定
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
正規母集団の母分散 $\sigma^2$ が分かっているとき。
母集団が母平均が $\mu$,
母分散が $\sigma^2$ の正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ であるとき,
大きさ $n$ の標本の標本平均 $\overline{X}$ は,
正規分布 $N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$ にしたがう。
したがって,
母分散 $\sigma^2$ が分かっているとき,
%
\begin{align*}
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
\end{align*}
%
は
標準正規分布 $N(0,1)$ にしたがう。
よって,
標本平均の実現値を $\overline{x}$ としたとき,
$100(1-\alpha)\%$ の確率で
%
\begin{align*}
\mu-z\left(\frac{\alpha}{2}\right)\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\le
\overline{x}
\le
\mu+z\left(\frac{\alpha}{2}\right)\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\end{align*}
%
を満たす。
ここで,
$z\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ は
標準正規分布 $N(0,1)$ の $\frac{\alpha}{2}$ 点である。
このことから,
母平均 $\mu$ の $100(1-\alpha)\%$ の信頼区間は
%
\begin{align*}
\left[
\overline{x}-z\left(\frac{\alpha}{2}\right)\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \
\overline{x}+z\left(\frac{\alpha}{2}\right)\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\right]
\end{align*}
%
となる。
$95\%$ の信頼区間では $z(0.025)=1.960$,
$99\%$ の信頼区間では $z(0.05)=2.567$ を用いるのが一般的である。
%
\item[(2)]
正規母集団の母分散 $\sigma^2$ が分かっていないとき。
母集団が母平均が $\mu$,
母分散が $\sigma^2$ の正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ であっても,
母分散 $\sigma^2$ が分かっていないときには (1) の
区間推定を行うことはできない。
$\sigma^2$ を不偏分散の実現値 $u^2$ で代用したとき,
%
\begin{align*}
T=\frac{\overline{X}-\mu}{u/\sqrt{n}}
\end{align*}
%
は,
自由度 $n-1$ の $t$ 分布にしたがう。
よって,
標本平均の実現値を $\overline{x}$ としたとき,
$100(1-\alpha)\%$ の確率で
%
\begin{align*}
\mu-t_{n-1}\left(\alpha\right)\frac{u}{\sqrt{n}}
\le
\overline{x}
\le
\mu+t_{n-1}\left(\alpha\right)\frac{u}{\sqrt{n}}
\end{align*}
%
を満たす。
ここで,
$t_{n-1}\left(\alpha\right)$ は
自由度 $n-1$ の $t$ 分布の $\alpha$ 点である。
このことから,
母平均 $\mu$ の $100(1-\alpha)\%$ の信頼区間は
%
\begin{align*}
\left[
\overline{x}-t_{n-1}\left(\alpha\right)\frac{u}{\sqrt{n}}, \
\overline{x}+t_{n-1}\left(\alpha\right)\frac{u}{\sqrt{n}}
\right]
\end{align*}
%
となる。
\end{enumerate}
%
母比率の区間推定
%
二項母集団から抽出した
大きさ $n$ の標本の標本比率の実現値を $\hat{p}$ とするとき,
母比率 $p$ の $100(1-\alpha)\%$ の信頼区間は
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\begin{align*}
\left[
\hat{p}-z\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
,
\hat{p}+z\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
\right]
\end{align*}
%
となる。
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