数学・工学事典

検定

% 母集団のある母数を $\theta$ とする。 $\theta$ を値 $\theta_0$ と比較したとき, % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] $\theta$ は $\theta_0$ ではない。 \item[$\bullet$] $\theta$ は $\theta_0$ より大きい。 \item[$\bullet$] $\theta$ は $\theta_0$ より小さい。 \end{enumerate} % のいずれかが正しいかどうかを判断することを, \ommindex{仮説}{かせつ}の\ommindex{検定}{けんてい}という。 仮説の検定は次の手順で行う。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 「$ \theta=\theta_0$ である」という仮説を立てる。 これを\ommindex{帰無仮説}{きむかせつ}といい, $\textrm{H}_0$ と表す。 \item[(2)] 状況に応じて「$\theta\ne \theta_0$ である」, 「$\theta> \theta_0$ である」, 「$\theta< \theta_0$ である」という, 帰無仮説を否定する仮説を立てる。 これを\ommindex{対立仮説}{たいりつかせつ}といい, $\textrm{H}_1$ と表す。 このとき, 帰無仮説と対立仮説は必ずどちらかの状況が起こるようにする。 たとえば, 対立仮説を「$\textrm{H}_1\,:\,\theta> \theta_0$ である」 とするのは, 周辺の状況から「$\theta<\theta_0$ ということは起こりえない ことが分かっている場合である。 \item[(3)] $\theta=\theta_0$ と仮定したとき, 分布が分かっている適切な統計量を選ぶ。 標本を無作為抽出したとき, その統計量の実現値がとりえない範囲 (その範囲の値をとる確率が非常に小さい範囲)を定める。 この範囲を\ommindex{棄却域}{ききゃくいき}という。 このとき, ``確率が $\alpha$ 以下であれば確率が小さいものとする'' と定めるとき, $\alpha$ を\ommindex{有意水準}{ゆういすいじゅん} または\ommindex{危険率}{きけんりつ}という。 \item[(4)] 実際に標本を抽出し, 先に定めておいた統計量の実現値 $a$ を調べる。 (4-1) $a$ が棄却域に含まれる値であった場合には, $\theta=\theta_0$ という仮定が正しくなかったと判断し, 対立仮説 H$_1$ が正しいと結論できる。 このとき, 帰無仮説を\ommindex{棄却}{ききゃく}するという。 (4-2) $a$ が棄却域に含まない値であった場合には, 帰無仮説を棄却できず, $\theta=\theta_0$ は正しくないとは判断できない, という結論となる。 \end{enumerate} % 仮説の検定をするとき, 次の2種類の誤りが起こりうる。 % % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] H$_0$ が正しいにも関わらず, H$_0$ を棄却してしまう誤り。 これを\ommindex{第1種の誤り}{だいいっしゅのあやまり}という。 有意水準(または危険率)は第1種の誤りがおこる確率である。 \item[$\bullet$] H$_0$ が誤っているにも関わらず, H$_0$ を棄却できない誤り。 これを\ommindex{第2種の誤り}{だいにしゅのあやまり}という。 \end{enumerate} % 棄却域は, 帰無仮説 H$_0$ に対する対立仮説 H$_1$ がどのようなものかによって, 次のように設定する。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 対立仮説が H$_1\,:\,\theta\ne \theta_1$ である場合 \\ 棄却域を $\theta$ の分布の両側に設ける。 これを\ommindex{両側検定}{りょうがわけんてい}という。 \item[(2)] 対立仮説が H$_1\,:\,\theta> \theta_1$ である場合 \\ 棄却域を $\theta$ の分布の右側に設ける。 これを\ommindex{右側検定}{みぎがわけんてい}という。 \item[(3)] 対立仮説が H$_1\,:\,\theta< \theta_1$ である場合 \\ 棄却域を $\theta$ の分布の左側に設ける。 これを\ommindex{左側検定}{ひだりがわけんてい}という。 \end{enumerate} % 右側検定と左側検定を併せて, \ommindex{片側検定}{かたがわけんてい}という。 いずれの場合も, 帰無仮説 H$_0$ を棄却しやすいように設定される。 %

母平均の検定

母比率の検定

% 正規母集団から抽出した大きさ $n$ の標本の標本平均を $\overline{X}$, 不偏分散 を $U$ とする。 このとき, 母平均 $\mu$ に関する帰無仮説「H$_0\,:\,\mu=\mu_0$」についての検定は 次のことを用いて行う。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 母分散 $\sigma^2$ が分かっているとき。 \\ 標本平均 $\overline{X}$ は, 正規分布 $N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$ にしたがう。 したがって, 帰無仮説 H$_0\,:\,\mu=\mu_0$ が正しいと仮定すれば, % \begin{align*} Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \end{align*} % は 標準正規分布 $N(0,1)$ にしたがう。 標準正規分布 $N(0,1)$ を用いた検定を \ommindex{$\boldsymbol{Z}$検定}{ぜっとけんてい}という。 \item[(2)] 母分散 $\sigma^2$ が分かっていないとき。 \\ $\sigma^2$ を不偏分散の実現値 $u^2$ で代用したとき, 帰無仮説 H$_0\,:\,\mu=\mu_0$ が正しいと仮定すれば, % \begin{align*} T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{u/\sqrt{n}} \end{align*} % は 自由度 $n-1$ の $t$ 分布にしたがう。 $t$ 分布を用いた検定を \ommindex{$\boldsymbol{t}$検定}{ぜっとけんてい}という。 \end{enumerate} % %

母分散の検定

% 正規母集団から抽出した大きさ $n$ の標本の標本分散を $S^2$ と する。 このとき, 母分散 $\sigma^2$ に関する 帰無仮説「H$_0\,:\,\sigma^2=\sigma^2_0$」についての検定は 次のことを用いて行う。 % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] $\sigma^2=\sigma^2_0$ が正しいと仮定すれば, % % \begin{align*} \chi^2=\frac{nS^2}{\sigma_0^2} \end{align*} % は自由度 $n-1$ の $\chi^2$ 分布にしたがう。 \end{enumerate} % $\chi^2$ 分布 を用いた検定を \ommindex{$\boldsymbol{\chi}^2$検定}{かいじじょうけんてい}という。 %