例題集

振動の基礎(1) 調和振動

理解レベル   難易度: ★★
$2$つの調和振動$x_1=3\cos\omega t(\omega t+45^\circ)$と$x_2=5\cos(\omega t+20^\circ)$とを合成した運動$x=x_1+x_2=X\cos(\omega t+\phi)$について,振幅$X$と位相$\phi$を求めよ. 角速度が$5\pi\ \rm{rad/s}$の場合,速度と加速度の最大値を求めよ.
\[\begin{equation} 調和振動 \left\{ \begin{array}{l} x_1=\alpha_1\cos(\omega t+\phi) \\ x_2=\alpha_2\cos(\omega t+\phi) \end{array} \right. \ \ \ (三角関数の基本公式) \end{equation}\] \[\begin{equation} 振幅 \left\{ \begin{array}{l} \alpha_1=3\,\rm{mm}\\ \alpha_2=5\,\rm{mm} \end{array} \right. \end{equation}\] \[\begin{equation} 初期位相 \left\{ \begin{array}{l} \phi_1=45\,\rm{deg}\\ \phi_2=20\,\rm{deg} \end{array} \right. \end{equation}\] 合成(単振動の合成)した運動$x$は,加法定理より, \[\begin{align} x &=x_1+x_2\\ &=X\cos(\omega t+\phi)\\ &=X(\cos\phi \cdot \cos\omega t-\sin\phi \cdot \sin\omega t) \end{align}\] $x_1$,$x_2$を代入すると, \[ X\cos\phi=6.819\\ X\sin\phi=3.831 \] 合成した振幅(変位)$X$は, \[\begin{align} X &=\sqrt{\left(X \sin\phi \right)^2+\left(X \cos\phi \right)^2}\\ &=\sqrt{6.819^2+3.831^2}\\ &=7.821\,\rm{mm} \end{align}\] \[ ∴X=7.82\,\rm{mm} \] 合成した位相$\phi$ \[ \frac{X \sin\phi}{X \cos \phi}= \tan \theta =\frac{3.831}{6.819} \] \[ \therefore \phi=29.3\,\rm{deg} \] 最大速度$v_{max}$ \[ v=\frac{dx}{dt}=X\omega \cos(\omega t + \phi)より \] \[\begin{align} v_{max} &=X\omega \\ &=7.821\,\rm{mm}\times 5\pi\,\rm{rad/s}=122.8\,\rm{mm/s} \end{align}\] \[ \therefore v_{max} =0.123\,\rm{m/s} \] 最大加速度$\alpha_{max}$ \[ \alpha = \frac{dv}{dt}=-X\omega^2\sin(\omega t+\phi)より \] \[\begin{align} \alpha_{max} & =X\omega^2\\ &=7.821\,\rm{mm}×\left(5\pi\,\rm{rad/s}\right)^2=1.929\,\rm{m/s^2} \end{align}\] \[ \therefore \alpha_{max} =1.93\,\rm{m/s^2} \]