数学・工学事典

三角関数

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三角関数

% 座標平面上の原点を中とする半径 $1$ の円を \ommindex{単位円}{たんいえん}という。 角 $\theta$ に対する動径が単位円と交わる点を P$(X,Y)$ とするとき, $X$, $Y$ は角 $\theta$ の関数となる。 これらの関数を % \begin{align*} X=\cos{\theta} , \quad Y=\sin{\theta} \end{align*} % と表す。 $X=\cos{\theta}$ を\ommindex{余弦関数(コサイン)}{よげんかんすう}, $Y=\sin{\theta}$ を\ommindex{正弦関数(サイン)}{正弦関数}という。 また, $\cos{\theta}\ne 0$ ($\theta\ne \frac{\pi}{2}+2n\pi$, $n$ は整数)である $\theta$ に対して, \ommindex{正接関数(タンジェント)}{せいせつかんすう}を % \begin{align*} \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{align*} % と定める。 これら3つの関数を総称して\ommindex{三角関数}{さんかくかんすう}という。

三角関数の相互関係

定義から, 任意の実数 $\theta$ について % \begin{align*} \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1 \end{align*} % が成り立つ。 さらに, この式を $\cos^2{\theta}$ で割ると % \begin{align*} 1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}} \end{align*} % が成り立つ。 %

三角関数の基本公式

% \begin{enumerate} \item[(1)] $n$ が整数のとき, 角 $\theta+2n\pi$ に対する動径は, 角 $\theta$ に対する動径と同じであるから % \begin{align*} \cos(\theta+2n\pi)&=\cos{\theta} \\ \sin(\theta+2n\pi)&=\sin{\theta} \\ \tan(\theta+2n\pi)&=\tan{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 \item[(2)] 角 $-\theta$ に対する動径は, 角 $\theta$ に対する動径と $X$ 軸に関して対称であること, および正接関数の定義から, % \begin{align*} \cos(-\theta)&=\cos{\theta} \\ \sin(-\theta)&=-\sin{\theta} \\ \tan(-\theta)&=-\tan{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 \item[(3)] 角 $\displaystyle \frac{\pi}{\,2\,}-\theta$ に対する動径は, 角 $\theta$ に対する動径と直線 $Y=X$ に関して対称あることから % \begin{align*} \cos\left(\displaystyle \frac{\pi}{\,2\,}-\theta\right) &=\sin{\theta} \\ \sin\left(\displaystyle \frac{\pi}{\,2\,}-\theta\right) &=\cos{\theta} \\ \tan\left(\displaystyle \frac{\pi}{\,2\,}-\theta\right) &=\tan{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 \item[(4)] 角 $\pi-\theta$ に対する動径は, 角 $\theta$ に対する動径と $Y$ 軸に関して対称あることから % \begin{align*} \cos(\pi-\theta) & =-\cos{\theta} \\ \sin(\pi-\theta) & =\sin{\theta} \\ \tan(\pi-\theta) & =\tan{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 \end{enumerate} %

三角関数のグラフ

% 三角関数 $y=\sin{x}$, $y=\cos{x}$ は次の性質をもつ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 定義域は実数全体, 値域は $-1\le y\le 1$ である。 \item[(2)] 周期を $2\pi$ とする周期関数である。 \item[(3)] $y=\cos{x}$ のグラフは, $y=\sin{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi}{\,2\,}$ だけ 平行移動したものである。 \item[(4)] $\sin{x}=0$ の解は $x=n\pi$ ($n$ は整数) であり, $x$ がこの値のとき $y=\sin{x}$ のグラフは $x$ 軸と交わる。 \item[(5)] $\cos{x}=0$ の解は $x=\frac{\pi}{\,2\,}+n\pi$ ($n$ は整数) であり, $x$ がこの値のとき $y=\cos{x}$ のグラフは $x$ 軸と交わる。 \end{enumerate} % 三角関数 $y=\tan{x}$ のグラフは次の性質をもつ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 定義域は $x\ne \frac{(2n+1)\pi}{2}$ ($n$ は整数)を満たす実数全体, 値域は実数全体である。 \item[(2)] 周期を $\pi$ とする周期関数である。 \item[(3)] $x\ne \frac{(2n+1)\pi}{2}$ ($n$ は整数) のとき, $y=\tan{x}$ の値は定義されない。 直線 $x=\frac{(2n+1)\pi}{2}$ は $y=\tan{x}$ のグラフの漸近線である。 \item[(4)] $-\frac{\pi}{\,2\,}\le \frac{\pi}{\,2\,}$ で単調増加である。 \item[(5)] $\tan{x}=0$ の解は $x=n\pi$ ($n$ は整数) であり, $x$ がこの値のとき $y=\tan{x}$ のグラフは $x$ 軸と交わる。 \end{enumerate} %

逆三角関数

三角関数の\ommindex{逆三角関数}{ぎゃくさんかくかんすう}という。 三角関数は単調関数でないため, 逆関数が存在するように定義域に制限をつける必要がある。 $y=\sin{x}$, $y=\cos{x}$, $y=\tan{x}$ の逆関数をそれぞれ次のように定める。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $y=\sin{x}$ $\left(-\frac{\pi}{\,2\,}\le x \le \frac{\pi}{\,2\,}\right)$ の 逆関数を $x=\sin^{-1}{y}$ と表し, これを\ommindex{逆正弦関数(アークサイン)}{ぎゃくせいげんかんすう}という。 すなわち, $\sin^{-1}{y}$ は $y=\sin{x}$ を満たす $x$ のうち, $-\frac{\pi}{\,2\,}\le x \le \frac{\pi}{\,2\,}$ の範囲の値である。 \item[(2)] $y=\cos{x}$ $\left(0\le x \le \pi\right)$ の 逆関数を $x=\tan^{-1}{y}$ と表し, これを\ommindex{逆余弦関数(アークコサイン)}{ぎゃくよげんかんすう}という。 すなわち, $\cos^{-1}{y}$ は $y=\cos{x}$ を満たす $x$ のうち, $0\le x \le \pi$ の範囲の値である。 \item[(3)] $y=\tan{x}$ $\left(-\frac{\pi}{\,2\,} < x < \frac{\pi}{\,2\,}\right)$ の 逆関数を $x=\tan^{-1}{y}$ と表し, これを\ommindex{逆正接関数(アークサイン)}{ぎゃくせいせつかんすう}という。 すなわち, $\tan^{-1}{y}$ は $y=\tan{x}$ を満たす $x$ のうち, $-\frac{\pi}{\,2\,} < x < \frac{\pi}{\,2\,}$ の範囲の値である。 \end{enumerate} %

応用例