$x$ の関数 $y$ に関する常微分方程式 % \begin{align*} y^{(n)} +p_1(x)y^{(n-1)} +\cdots +p_n(x)y &= 0 &\cdots \cdots \maru{1} \\ y^{(n)} +p_1(x)y^{(n-1)} +\cdots +p_n(x)y &= r(x) &\cdots \cdots \maru{2} \end{align*} % (ただし $r(x) \ne 0$) を \ommindex{$\boldsymbol n$階線形微分方程式}{せんけいじょうびぶんほうていしき}という。 このうち, \maru{1} を\ommindex{斉次}{さいじ}, \maru{2} を\ommindex{非斉次}{ひさいじ}であるという。 また, $p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)$ がすべて定数であるとき, \maru{1}, \maru{2} は\ommindex{定数係数}{ていすうけいすう}であるという。

線形微分方程式は次の性質をもつ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $y_1$, $y_2$ がともに斉次線形微分方程式 \maru{1} の解であるとする。 このとき, 任意の定数 $a$, $b$ に対して $ay_1+by_2$ は \maru{1} の解である。 \item[(2)] \maru{1} の解 $y_1$, $y_1$, $\ldots$, $y_k$ に対して, 行列式 % \begin{align*} W(y_1,y_2,\ldots,y_k) = \left|\begin{array}{cccc} y_1 & y_2 & \cdots & y_k \\ y'_1 & y'_2 & \cdots & y'_k \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y^{(k)}_1 & y^{(k)}_2 & \cdots & y^{(k)}_k \end{array}\right| \end{align*} % を\ommindex{ロンスキーの行列式}{ろんすきーのぎょうれつしき}という。 $W(y_1,y_2,\ldots,y_k)\ne 0$ であるとき, $y_1$, $y_1$, $\ldots$, $y_k$ は\ommindex{線形独立}{せんけいどくりつ} であるという。 $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$ が, $n$ 階斉次線形微分方程式 \maru{1} の線形独立な解であるとき, % \begin{align*} C_1y_1+C_2y_2\cdots +C_ny_n \quad (\mbox{$C_1$, $C_2$, $\ldots$, $C_n$ は任意定数}) \end{align*} % は \maru{1} の一般解である。 \item[(3)] $C_1y_1+C_2y_2\cdots +C_ny_n$ が斉次線形微分方程式 \maru{1} の一般解, $\varphi$ が非斉次線形微分方程式 \maru{2} の1つの解であるとき, % \begin{align*} C_1y_1+C_2y_2\cdots +C_ny_n+\varphi \end{align*} % は, \maru{2} の一般解である。 \end{enumerate}

$\bullet$ $P(x)$ の $p(x)$ の原始関数とするとき, 斉次1階線形微分方程式 % \begin{align*} y'+p(x)y=0 \end{align*} % の一般解は $y=Ce^{-P(x)}$ ($C$ は任意定数) である。 $\bullet$ $p$, $r$ を定数, $p\ne 0$ とする。 このとき, 定数係数斉次1階線形微分方程式 % \begin{align*} y'+py=r \end{align*} % の一般解は $y=Ce^{-px}+\frac{r}{p}$ ($C$ は任意定数) である。

定数係数斉次2階線形微分方程式 % \begin{align*} y^{\prime\prime}+ay'+by=0 \end{align*} % に対して, $\lambda$ に関する2次方程式 % \begin{align*} \lambda^2+a\lambda+b=0 \end{align*} % をその\ommindex{特性方程式}{とくせいほうていしき}という。 定数係数斉次2階線形微分方程式の一般解は, その特性方程式の解によって次のように分類される。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\lambda=\alpha, \beta$ (2つの異なる実数解) であるとき % \begin{align*} y=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x} \end{align*} % \item[(2)] $\lambda=\alpha$ (2重解) であるとき % \begin{align*} y=e^{\alpha x}(Ax+B) \end{align*} % \item[(3)] $\lambda=\alpha+i\omega$ (虚数解) であるとき % \begin{align*} y=e^{\alpha x}(A\cos{\omega x}+B\sin{\omega x}) \end{align*} % \end{enumerate}