偏微分方程式
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2変数関数 $u$ に関する偏導関数を含む方程式を
\ommindex{偏微分方程式}{へんびぶんほうていしき}という。
次の偏微分方程式はよく知られている。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
\ommindex{ラプラスの偏微分方程式}{らぷらるのへんびぶんほうていしき}
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\begin{align*}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
=
0
\end{align*}
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ラプラスの偏微分方程式の解を
\ommindex{調和関数}{ちょうわかんすう}という。
\item[(2)]
\ommindex{熱伝導方程式}{ねつでんどうほうていしき}
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\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial t}
=
k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\quad (\mbox{$k$ は正の定数})
\end{align*}
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数直線上に熱が分布しているとき,
時刻 $t$,
位置 $x$ である点の温度 $u(x,t)$ は熱伝導方程式を満たす。
\item[(3)]
\ommindex{波動方程式}{はどうほうていしき}
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\begin{align*}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
=
k^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
\quad (\mbox{$k$ は正の定数})
\end{align*}
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数直線上が振動しているとき,
時刻 $t$,
位置 $x$ である点の垂直方向の変位 $u(x,t)$ は
波動方程式を満たす。
\end{enumerate}
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