体積
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空間の平面 $x=a$,
$x=b$ に挟まれた部分にある立体の,
$x$ 軸に垂直な面による断面積が $S(x)$ で表されるとき,
この立体の体積を $V$ とするとき,
次が成り立つ。
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\begin{align*}
V
=
\int_{a}^{b}V(x)\,dx
=
\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left\{f(\theta)\right\}^2\,dx
\end{align*}
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とくに,
関数 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で定義された,
$f(x)\ge 0$ を満たす連続関数であるとするとき,
$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸
および2直線 $x=a$, $x=b$ で囲まれる図形を,
$x$ 軸を中心に回転してできる回転体は,
その断面積が $S(x)=\pi\{f(x)\}^2$ となるから,
その体積を $V$ とするとき,
次が成り立つ。
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\begin{align*}
V=\pi\int_{a}^{b}\{f(x)\}^2\,dx
\end{align*}
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広義積分
積分区間の端点で定義されていない関数の積分や,
積分区間が有限でない積分を総称して
\ommindex{広義積分}{こうぎせきぶん}という。
広義積分は次のように定義する。
右辺の極限値が存在しないときには,
この広義積分は\ommindex{発散}するという。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
積分区間 $[a,b]$ の端点 $x=a$ で定義されていないとき。
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\begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
=
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx
\end{align*}
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\item[(2)]
積分区間 $[a,b]$ の端点 $x=b$ で定義されていないとき。
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\begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
=
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)\,dx
\end{align*}
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\item[(3)]
無限区間 $[a,\infty)$ における積分。
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\begin{align*}
\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx
=
\lim_{M\to \infty}\int_{a}^{M}f(x)\,dx
\end{align*}
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\item[(4)]
無限区間 $(-\infty,a]$ における積分。
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\begin{align*}
\int_{-\infty}^{a}f(x)\,dx
=
\lim_{M\to \infty}\int_{-M}^{a}f(x)\,dx
\end{align*}
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\end{enumerate}
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さらに,
次のように定める。
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\begin{enumerate}
\item[(5)]
積分区間 $[a,b]$ の内部の点 $x=c$ で定義されていないとき。
2つの広義積分
$\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$,
$\displaystyle \int_{c}^{b}f(x)\,dx$ がともに有限確定値であるとき,
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\begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
=
\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx
\end{align*}
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\item[(6)]
全区間 $(-\infty,\infty)$ における積分。
2つの積分
$\displaystyle \int_{a}^{\infty}f(x)\,dx$,
$\displaystyle \int_{-\infty}^{a}f(x)\,dx$ が
ともに有限確定値であるとき,
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\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx
=
\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx+\int_{-\infty}^{a}f(x)\,dx
\end{align*}
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\end{enumerate}
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