% 関数 $z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ のまわりで連続であるとする。 このとき, $(a,b)$ の近くのすべての点 $(x,y)$ で % \begin{align*} f(x,y)>f(a,b) \end{align*} % を満たすとき, $z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で \ommindex{極小}{きょくしょう}であるといい $f(a,b)$ を\ommindex{極小値}{きょくしょうち}という。 また, $(a,b)$ の近くのすべての点 $(x,y)$ で % \begin{align*} f(x,y)<f(a,b) \end{align*} % を満たすとき, $z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で \ommindex{極大}{きょくだい}であるといい $f(a,b)$ を\ommindex{極大値}{きょくだいち}という。 極小値, 極大値を合わせて\ommindex{極値}{きょくち}という。 以下, 関数 $z=f(x,y)$ は連続微分可能な関数であるとする。 行列式 % \begin{align*} H(a,b)=\left|\begin{array}{cc} f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{xy}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{array}\right| \end{align*} % を点 $(a,b)$ における\ommindex{ヘッセ行列式}{へっせぎょうれつしき} または\ommindex{ヘシアン}{へしあん}という。 $z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値をとれば, 条件 % \begin{align*} f_{x}(a,b)=f_{y}(a,b)=0 \quad \cdots \cdots \maru{1} \end{align*} % を満たす。 $z=f(x,y)$ が条件 \maru{1} を見たすとき, このとき, $z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値をとるかどうかについて, 次の\ommindex{極値の判定法}{きょくちのはんていほう}が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $H(a,b)>0$ のとき \begin{enumerate} \item[$\bullet$] $f_{xx}(a,b)>0$ であれば極小である。 \item[$\bullet$] $f_{xx}(a,b)<0$ であれば極大である。 \end{enumerate} \item[(2)] $H(a,b)<0$ のとき極値ではない。 \end{enumerate} % %

% 条件 $\varphi(a,y)=0$ の下で, 連続微分可能な関数 $z=f(x,y)$ の極値を調べる問題を \ommindex{条件付き極値問題}{じょうけんつききょくちもんだい}という。 条件 $\varphi(a,y)=0$ の下で関数 $z=f(x,y)$ が極値をとるとき, 次の式を満たす定数 $\lambda$ が存在する。 % \begin{align*} & f_{x}(a,b)=\lambda\varphi_{x}(a,b) \\ & f_{y}(a,b)=\lambda\varphi_{y}(a,b) \\ \varphi(a,b)=0 \end{align*} % これを\ommindex{ラグランジュの常数法}{らぐらんじゅのじょうすうほう}という。 %