2変数関数とその極限
%
2つの変数の値の組 $(x,y)$ に対して,
実数 $z$ をただ1つ対応させる規則があるとき,
$z$ は $x$, $y$ の\ommindex{2変数関数}{にへんすうかんすう}であるといい,
$z=f(x,y)$ と表す。
$(x,y)$ を $xy$ 平面上の点と考えるとき,
点 $(x,y)$ が動く平面上の領域を $z=f(x,y)$ の
\ommindex{定義域}{ていぎいき},
$z$ がとる値の範囲を\ommindex{値域}{ちいき}という。
点 $(x,y)$ が $(a,b)$ と異なる点を取りながら
点 $(a,b)$ に限りなく近づくことを
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\begin{align*}
(x,y)\to (a,b)
\end{align*}
%
と表す。
$(x,y)\to (a,b)$ のとき,
その近づき方によらず,
$f(x,y)$ の値が限りなく定数 $\alpha$ に近づくとき,
$f(x,y)$ は $\alpha$ に\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい
%
\begin{align*}
f(x,y)\to \alpha
\quad \mbox{または}\quad
\lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=\alpha
\end{align*}
%
と表す。
とくに,
%
\begin{align*}
\lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)
\end{align*}
%
であるとき,
関数 $z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で\ommindex{連続}{れんぞく}であるという。
関数 $z=f(x,y)$ が定義域に含まれるある領域 $D$ の各点で連続であるとき,
関数 $z=f(x,y)$ は領域 D で連続であるという。
$(x,y)\to (a,b)$ のとき,
$f(x,y)$ が一定の値に近づかないとき,
$f(x,y)$ は\ommindex{発散}{はっさん}するという。
収束, 発散の状態を2変数関数の\ommindex{極限}{きょくげん}という。
%
偏導関数
%
2変数関数 $z=f(x,y)$ について,
極限値
%
\begin{align*}
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
\end{align*}
%
が存在するとき,
$z=f(x,y)$ は $x$ について
\ommindex{偏微分可能}{へんびぶんかのう}であるという。
$z=f(x,y)$ $x$ についてが偏微分可能であるとき,
この極限値として得られる関数を,
$z=f(x,y)$ の $x$ についての
\ommindex{偏導関数}{へんどうかんすう}といい
%
\begin{align*}
f_{x}(x,y),
\quad
\frac{\partial f}{\partial x}
\end{align*}
%
などと表す。
また,
極限値
%
\begin{align*}
\lim_{k\to 0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{h}
\end{align*}
%
が存在するとき,
$z=f(x,y)$ は $x$ について
\ommindex{偏微分可能}{へんびぶんかのう}であるといい,
極限値として得られる関数を,
$z=f(x,y)$ の $y$ についての
\ommindex{偏導関数}{へんどうかんすう}といい
%
\begin{align*}
f_{y}(x,y),
\quad
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{align*}
%
などと表す。
偏導関数を求めることを\ommindex{偏微分}{へんびぶん}するという。
偏導関数がまた偏微分可能であるとき,
偏導関数を偏微分して得られる関数を
\ommindex{2階偏導関数}{にかいへんどうかんすう}という。
$z=f(x,y)$ を $x$ について2回偏微分して得られる関数を
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\begin{align*}
f_{xx}(x,y),
\quad
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
\end{align*}
%
と表す。
$x$ について2回偏微分して得られる関数も同様に表す。
$x$ についての偏導関数を $y$ について偏微分して得られる関数は
%
\begin{align*}
f_{xy}(x,y),
\quad
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}
\end{align*}
%
と表す。
2回以上偏微分して得られる関数を
\ommindex{高階偏導関数}{こうかいへんどうかんすう}という。
$z=f(x,y)$ が2回偏微分可能で,
$f_{xy}(x,y)$,
$f_{yx}(x,y)$ がともに連続であるとき,
$z=f(x,y)$ は\ommindex{連続微分可能}であるという。
$z=f(x,y)$ が連続微分可能であるとき,
%
\begin{align*}
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)
\end{align*}
%
が成り立つ。
同様に,
$z=f(x,y)$ が何回でも偏微分可能で,
その偏導関数がすべて連続であるならば,
偏導関数は微分する変数の順序によらない。
%
合成関数の偏導関数
以下の公式を,
2変数関数の
\ommindex{合成関数の微分法}{ごうせいかんすうのびぶんほう}という。
%
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$x$,
$y$ が $t$ の関数であるとき,
$z=f(x,y)$ も $t$ の関数である。
$x$, $y$ が微分可能であり,
$z=f(x,y)$ が偏微分可能であるとき,
%
\begin{align*}
\frac{dz}{dt}
=
\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}
+
\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
\end{align*}
%
が成り立つ。
\item[(2)]
$x$,
$y$ が $u$, $v$ の関数であるとき,
$z=f(x,y)$ も $u$, $v$ の関数である。
$x$, $y$ が偏微分可能であり,
$z=f(x,y)$ が偏微分可能であるとき,
%
\begin{align*}
\frac{\partial z}{\partial u}
&=
\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}
+
\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}
\\
\frac{\partial z}{\partial v}
&=
\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}
+
\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}
\end{align*}
%
が成り立つ。
\end{enumerate}
%
偏微分係数
%
$z=f(x,y)$ が $x$ について偏微分可能であるとき,
$x$ についての偏導関数の点 $(a,b)$ における値を,
点 $(a,b)$ における $x$ についての
\ommindex{偏微分係数}{へんびぶんけいすう}といい,
%
\begin{align*}
f_{x}(a,b), \quad
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(a,b)}
\end{align*}
%
と表す。
$xy$ 平面上の点 $(a,b)$ を通る直線
%
\begin{align*}
\ell\,:\,
\left\{\begin{array}{l}
x=a+ht \\ y=b+kt
\end{array}\right.
\quad
(k^2+l^2=1)
\end{align*}
%
に対して,
変数を $t$ とする関数
%
\begin{align*}
z=f(a+ht,b+kt)
\end{align*}
%
のグラフは,
直線 $\ell$ を通り $xy$ 平面に垂直な平面による,
曲面 $z=f(x,y)$ の断面に現れる曲線である。
これを $z=f(x,y)$ の\ommindex{断面曲線}{だんめんきょくせん}という。
断面曲線の $t=0$ における微分係数は,
合成関数の導関数の公式によって
%
\begin{align*}
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=0}
=
hf_{x}(a,b)+kf_{y}(a,b)
\end{align*}
%
となる。
とくに,
$k=1$,
$l=0$ のときには $x$ についての偏微分係数 $f_{x}(a,b)$,
$k=0$,
$l=1$ のときには $y$ についての偏微分係数 $f_{y}(a,b)$ である。
%
全微分
%
偏微分可能な関数 $z=f(x,y)$ に対して,
%
\begin{align*}
dz
=
\frac{\partial z}{\partial x}dx
+
\frac{\partial z}{\partial y}dy
\end{align*}
%
を\ommindex{全微分}{ぜんびぶん}という。
%
全微分による変化量の近似
関数 $z=f(x,y)$ について,
%
\begin{align*}
f(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)+\varepsilon
\end{align*}
%
とおくとき,
%
\begin{align*}
\lim_{(x,y)\to (a,b)}
\frac{\varepsilon}{\sqrt{a^2+b^2}}
=
0
\end{align*}
%
であるとき,
点 $(a,b)$ のまわりで
\ommindex{全微分可能}{ぜんびぶんかのう}であるという。
連続微分可能な関数は全微分可能である。
全微分可能な関数は,
\ommindex{1次近似}{いちじきんじ}することができる。
すなわち,
%
\begin{align*}
f(a+h,y+k)
\approx
f(a,b)+hf_{x}(a,b)+kf_{y}(a,b)
\end{align*}
%
が成り立つ。
%
接平面
%
全微分可能な関数 $z=f(x,y)$ に対して,
点 $(a,b,f(a,b))$ を通る平面
%
\begin{align*}
z=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)
\end{align*}
%
を,
点 $(a,b)$ における $z=f(x,y)$ の
\ommindex{接平面}{せつへいめん}という
%
陰関数の微分法
%
$xy$ 平面上の曲線 $f(x,y)=0$ 上の点 $(a,b)$ に対して,
$x=a$ を含む開区間で定義された関数 $y=\varphi(x)$ が,
%
\begin{align*}
f(x,\varphi(x))=0
\end{align*}
%
とき,
この関数を $f(x,y)=0$ から定まる\ommindex{陰関数}{いんかんすう}という。
$f_{y}(a,b)\ne 0$ であるとき
%
\begin{align*}
\varphi'(a)=-\frac{f_{x}(a,b)}{f_{y}(a,b)}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{陰関数の微分法}{いんかんすうのびぶんほう}という。
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