スカラー場の線積分
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スカラー場 $\varphi(x,y,z)$ と,
滑らかな曲線 ${\text{C}}
:\vt{r}=x(t)\,\vt{i}+y(t)\,\vt{j}+z(t)\,\vt{k}$ に対して,
$\varphi(t)=\varphi(x(t),y(t),z(t))$ と表すとき
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\begin{align*}
\int_{\text{C}}\varphi\,ds
=
\int_{\alpha}^{\beta}
\varphi(t)\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|
\,dt
\end{align*}
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を,
曲線 C に沿うスカラー場 $\varphi$ の
\ommindex{線積分}{せんせきぶん}という。
とくに,
$\varphi=1$ のとき,
線積分の値は曲線 C の長さ $s$ である。
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\begin{align*}
s
=
\int_{\alpha}^{\beta}
\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|
\,dt
\end{align*}
%
