複素級数
%
$a$,
$c_n$ を複素数の定数とするとき,
複素数 $z$ についての級数
%
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}c_n (z-a)^n
=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+\cdots+c_n(z-a)^n+\cdots
\end{align*}
%
を $z=a$ を中心とする\ommindex{べき級数}{べききゅうすう}という。
このべき級数が,
$\left|z-a\right|<R$ のときに収束し,
$\left|z-a\right|>R$ のとき発散するような正の数 $R$ が存在するとき,
$R$ をこのべき級数の\ommindex{収束半径}{しゅうそくはんけい}という。
また,
任意の複素数について収束するときには,
収束半径は無限大であるといい,
$R=\infty$ とかく。
このとき,
円 $\left|z-a\right|=R$ を\ommindex{収束円}{しゅうそくえん}という。
級数 \maru{1} は収束円の内部の任意の $z$ について収束する。
テイラーの定理
%
関数 $f(z)$ が,
点 $a$ を中心とする半径 $R$ の円 C および
その内部を含む領域で正則であるとする。
このとき,
円 C の内部の任意の点 $z$ について,
次のように表すことができる。
%
\begin{align*}
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n
\end{align*}
%
これを\ommindex{テイラーの定理}{ていらーのていり}といい,
この式の右辺を,
$z=a$ を中心とする $f(z)$ の
\ommindex{テイラー展開}{ていらーてんかい}という。
%
マクローリン展開
%
$z=0$ を中心とする $f(z)$ のテイラー展開を
\ommindex{マクローリン展開}{まくろーりんてんかい}という。
いくつかの関数のマクローリン展開と収束半径を挙げる。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\displaystyle
\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\cdots
\quad
(R=1)$
\item[(2)]
$\displaystyle
e^{z}=1+\frac{z}{\,1!\,}+\frac{z^2}{\,2!\,}+\frac{}{\,3!\,}+\cdots
\quad
(R=\infty)$
\item[(3)]
$\displaystyle
\sin{z}=\frac{z}{\,1!\,}-\frac{z^3}{\,3!\,}+\frac{z^5}{\,5!\,}-\frac{z^7}{\,7!\,}+\cdots
\quad
(R=\infty)$
\item[(4)]
$\displaystyle
\cos{z}=1-\frac{z^2}{\,2!\,}+\frac{z^4}{\,4!\,}-\frac{z^6}{\,6!\,}+\cdots
\quad
(R=\infty)$
\end{enumerate}
%
%
ローラン展開
%
関数 $f(z)$ が $z=a$ で正則でないとき,
$z=a$ を $f(z)$ の\ommindex{特異点}{とくいてん}という。
$z=a$ は $f(z)$ の特異点であるが,
領域 $0<\left|z-a\right|<R$ では $f(z)$ が正則であるような
正の数 $R$ があるとき,
点 $z=a$ を $f(z)$ の\ommindex{孤立特異点}{こりつとくいてん}という。
関数 $f(z)$ が領域 $0<\left|z-a\right|<R$ で正則であるとき,
この領域に含まれる任意の $z$ に対して,
%
\begin{align*}
f(z)
=
\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n
=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}
+
\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n
\end{align*}
%
が成り立つ。
ここで係数 $c_n$ は,
$r$ を $0<r<R$ を満たす任意の数として
%
\begin{align*}
c_n
=
\frac{1}{2\pi i}
\int_{\left|\zeta-a\right|=r}
\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}
\,d\zeta
\end{align*}
%
である
($r$ をどのように選んでも右辺の積分の値は変化しない)。
これを,
$z=a$ を中心とする $f(z)$ の
\ommindex{ローラン展開}{ろーらんてんかい}という。
$z=a$ を中心とする $f(z)$ をローラン展開について,
負のべきを含む項
%
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}
\end{align*}
%
を,
$f(z)$ の\ommindex{主要部}{しゅようぶ}という。
$f(z)$ の孤立特異点 $z=a$ は,
$z=a$ を中心とする $f(z)$ のローラン展開の主要部の状態によって,
次のように分類することができる。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
主要部がないとき,
$z=a$ は $f(z)$ の
\ommindex{除去可能な特異点}{じょきょかのうなとくいてん}であるという。
\item[(2)]
主要部が $0$ ではないが,
有限個の項からなるとき,
すなわち,
%
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{m}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n},
\quad
c_{-m}\ne 0
\end{align*}
%
であるような自然数 $m$ があるとき,
$z=a$ は $f(z)$ の
\ommindex{位数}{いすう} $m$ の\ommindex{極}{きょく}
または $m$ 位の極であるという。
とくに,
%
\begin{align*}
\lim_{z\to a}(z-a)^m f(z)\ne 0
\end{align*}
%
であるような自然数 $m$ があれば,
$z=a$ は $f(z)$ の位数 $m$ の極である。
\item[(3)]
主要部が無限個の項を含むとき,
$z=a$ は $f(z)$ の
\ommindex{真性特異点}{しんせいとくいてん}であるという。
\end{enumerate}
%
%
留数定理
%
$z=a$ が $f(z)$ の孤立特異点であるとする。
このとき
%
\begin{align*}
c_{-1}
=
\frac{1}{2\pi i}
\int_{\left|\zeta-a\right|=r}f(\zeta)\,d\zeta
\end{align*}
%
を,
関数 $f(z)$ の $z=a$ における\ommindex{留数}{りゅうすう}といい,
\def\Res{\mathop{\rm Res}\nolimits}
%
\begin{align*}
\Res\left[f(z),a\right]
\end{align*}
%
と表す。
$z=a$ が $f(z)$ の極であり,
その位数 $m$ が分かれば,
$z=a$ における $f(z)$ の留数は
%
\begin{align*}
\Res\left[f(z),a\right]
=
\frac{1}{(m-1)!}
\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left\{(z-a)^m f(z)\right\}
\end{align*}
%
で与えられる。
関数 $f(z)$ が単一閉曲線 C をその内部で,
有限個の点 $a_k$ $(k=1,2,\ldots n)$ を除いて正則であるとき,
C に沿う $f(z)$ の積分について
%
\begin{align*}
\int_{\text{C}}f(z)\,dz
=
\sum_{k=1}^{n}\Res\left[f(z),a_k\right]
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{留数定理}{りゅうすうていり}という。
%
