時間を$t$、入力変数を$u(t)$、出力変数を$y(t)$、 そしてゲインを$\tau, K$とする。 1次遅れ系の微分方程式 \[\tau\frac{dy}{dt}+y(t)=Ku(t)\] の伝達関数$G(s)$を求めよ。 ただし、初期条件は$y(0)=$とする。

1次遅れ系の微分方程式 \[\tau\frac{dy}{dt}+y(t)=Ku(t),\quad (y(0)=0)\] の伝達関数は、$\displaystyle G(s)=\frac{K}{\tau s+1}$である。 入力関数が$u(t)=y_0U(t)$であるときの出力関数$y(t)$を求めよ。 ただし、$U(t)$は単位ステップ関数 \[U(t)=\begin{cases}0 & (t<0)\\ 1 & (t\ge 0)\end{cases}\] とする。

1次遅れ系の微分方程式 \[\tau\frac{dy}{dt}+y(t)=Ku(t),\quad (y(0)=0)\] の伝達関数は、$\displaystyle G(s)=\frac{K}{\tau s+1}$である。 入力関数が正弦波$u(t)=A\sin \omega t$であるときの出力関数$y(t)$を求めよ。

1次遅れ系の微分方程式 \[\tau\frac{dy}{dt}+y(t)=Ku(t),\quad (y(0)=0)\] の入力関数を正弦波$u(t)=A\sin \omega t$としたときの 出力関数$y(t)$は、 \[ y(t)=\frac{KA\tau\omega}{\tau^2\omega^2+1}\left( e^{-t/\tau}-\cos\omega t+\frac1{\tau\omega}\cdot\sin\omega t\right) \] である。 定常状態の振幅が入力波の振幅の半分以下となるようにするには、 入力波の$\omega$をどのように定めれば良いか。