\[ -\overline{I(x;y)}=\sum_j \sum_i P(x_i, y_j) \log_2 \frac{P(x_i)P(y_j)}{P(x_i, y_j)} \] において，$W=\frac{P(x_i)P(y_j)}{P(x_i, y_j)}$とおくと， \[ -\overline{I(x;y)}=\sum_j \sum_i P(x_i, y_j) \log_2 W \] $\log_2 W \leq \log_2 e\cdot (W-1)$なので， \begin{eqnarray} \sum_j \sum_i P(x_i, y_j) \log_2 W &\leq& \sum_j \sum_i P(x_i, y_j) \log_2\cdot(W-1) \\ &&=\sum_j \sum_i P(x_i, y_j) \log_2 e \cdot \frac{P(x_i)P(y_j)}{P(x_i, y_j)} \\ &&\ \ \ \ \ \ \ \ -\sum_j \sum_i P(x_i, y_j) \log_2 e \\ &&=\sum_j \sum_i\log_2e\cdot P(x_i)P(y_j)-\sum_j \sum_i P(x_i, y_j) \log_2 e \\ &&=\log_2 e \sum_j \sum_i \left( P(x_i)P(y_j)- P(x_i, y_j)\right) \\ &&=\log_2\cdot 0 \\ &&=0 \ \ \ \because \sum_iP(x_i)=\sum_jP(y_j)=\sum_j \sum_i P(x_i)P(y_j)=1 \end{eqnarray} よって，$-\overline{I(x;y)} \leq 0$つまり， \[ \overline{I(x;y)} \geq 0 \] となり，平均相互情報量は負にならない．