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数学・工学事典

線形微分方程式

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線形微分方程式

x の関数 y に関する常微分方程式 y(n)+p1(x)y(n1)++pn(x)y=0y(n)+p1(x)y(n1)++pn(x)y=r(x) (ただし r(x)0) を \boldsymbol n階線形微分方程式という。 このうち, ① を斉次, ② を非斉次であるという。 また, p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x) がすべて定数であるとき, ①, ② は定数係数であるという。

線形微分方程式の性質

線形微分方程式は次の性質をもつ。
  1. (1) y_1, y_2 がともに斉次線形微分方程式 ① の解であるとする。 このとき, 任意の定数 a, b に対して ay_1+by_2 は ① の解である。
  2. (2) ① の解 y_1, y_1, \ldots, y_k に対して, 行列式 \begin{align*} W(y_1,y_2,\ldots,y_k) = \left|\begin{array}{cccc} y_1 & y_2 & \cdots & y_k \\ y'_1 & y'_2 & \cdots & y'_k \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y^{(k)}_1 & y^{(k)}_2 & \cdots & y^{(k)}_k \end{array}\right| \end{align*}ロンスキーの行列式という。 W(y_1,y_2,\ldots,y_k)\ne 0 であるとき, y_1, y_1, \ldots, y_k線形独立 であるという。 y_1, y_2, \ldots, y_n が, n 階斉次線形微分方程式 ① の線形独立な解であるとき, \begin{align*} C_1y_1+C_2y_2\cdots +C_ny_n \quad (\mbox{$C_1$, $C_2$, $\ldots$, $C_n$ は任意定数}) \end{align*} は ① の一般解である。
  3. (3) C_1y_1+C_2y_2\cdots +C_ny_n が斉次線形微分方程式 ① の一般解, \varphi が非斉次線形微分方程式 ② の1つの解であるとき, \begin{align*} C_1y_1+C_2y_2\cdots +C_ny_n+\varphi \end{align*} は, ② の一般解である。

定数係数1階線形微分方程式

\bullet P(x)p(x) の原始関数とするとき, 斉次1階線形微分方程式 \begin{align*} y'+p(x)y=0 \end{align*} の一般解は y=Ce^{-P(x)} (C は任意定数) である。

\bullet p, r を定数, p\ne 0 とする。 このとき, 定数係数斉次1階線形微分方程式 \begin{align*} y'+py=r \end{align*} の一般解は y=Ce^{-px}+\frac{r}{p} (C は任意定数) である。

定数係数2階線形微分方程式

定数係数斉次2階線形微分方程式 \begin{align*} y^{\prime\prime}+ay'+by=0 \end{align*} に対して, \lambda に関する2次方程式 \begin{align*} \lambda^2+a\lambda+b=0 \end{align*} をその特性方程式という。 定数係数斉次2階線形微分方程式の一般解は, その特性方程式の解によって次のように分類される。
  1. (1) \lambda=\alpha, \beta (2つの異なる実数解) であるとき \begin{align*} y=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x} \end{align*}
  2. (2) \lambda=\alpha (2重解) であるとき \begin{align*} y=e^{\alpha x}(Ax+B) \end{align*}
  3. (3) \lambda=\alpha+i\omega (虚数解) であるとき \begin{align*} y=e^{\alpha x}(A\cos{\omega x}+B\sin{\omega x}) \end{align*}