数学・工学事典

ベクトル

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ベクトル

% 平面または空間の2点 A, B に対して, AからBに向かう線分を\ommindex{有向線分}{ゆうこうせんぶん}ABといい, 点Aを\ommindex{始点}{してん}, 点Bを\ommindex{終点}{しゅうてん}という。 また, 点 A から点 B に向かう方向をこの有向線分の\ommindex{向き}{むき}という。 平行移動によって重ね合わせることができる有向線分を すべて等しいものと考え, これを\ommindex{ベクトル}{べくとる}という。 有向線分ABの表すベクトルを $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ とかく。 ベクトルは, 終点と始点を指定しない場合には太文字 $\vt{a}$ や 矢印をつけた文字 $\overrightarrow{a}$ で表す。 $\vt{a}=\overrightarrow{\mbox{AB}}$ であるとき, 線分 AB の長さを $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ の$\textbf{大きさ}$といい, $\left|\vt{a}\right|$ または $\left|\overrightarrow{\mbox{AB}}\right|$ で表す。 大きさが $1$ のベクトルを\ommindex{単位ベクトル}{たんいべくとる}という。 また, 大きさが $0$ のベクトルを\ommindex{零ベクトル}{ぜろべくとる}といい, $\vt{0}$ で表す。 零ベクトル向きは考えない。 $\vt{a}$ と同じ大きさで, 逆向きのベクトルを $\vt{a}$ の\ommindex{逆ベクトル}{ぎゃくべくとる}といい, $-\vt{a}$ で表す。 したがって, % \begin{align*} \left|\vt{a}\right|=\left|-\vt{a}\right| \end{align*} % である。 また, $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{BA}}$ は同じ大きさで, 逆向きであるから % \begin{align*} \overrightarrow{\mbox{BA}}=-\overrightarrow{\mbox{AB}} \end{align*} % が成り立つ。 %

ベクトルの演算

% 実数 $t$ とベクトル $\vt{a}$ に対して, ベクトル $t\vt{a}$ を次のベクトルとする。 % \begin{enumerate} \item[] $t>0$ のとき, $\vt{a}$ と同じ向きで, 大きさが $\left|\vt{a}\right|$ の $t$ 倍 \item[] $t=0$ のとき, 零ベクトル $\vt{0}$ \item[] $t<0$ のとき, $\vt{a}$ と逆の向きで, 大きさが $\left|\vt{a}\right|$ の $\left|t\right|$ 倍 \end{enumerate} % $t\vt{a}$ を, $\vt{a}$ の\textbf{実数倍}または\textbf{スカラー倍}という。 とくに, % \begin{align*} (-1)\vt{a}=-\vt{a} \end{align*} % である。 $t\vt{a}$ の大きさは $\vt{a}$ の大きさの $\left|t\right|$ 倍であるから, 任意の実数 $t$ に対して % \begin{align*} \left|t\vt{a}\right|=|t|\left|\vt{a}\right| \end{align*} % が成り立つ。 また, 2つのベクトル $\vt{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}}$, $\vt{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}$ の\ommindex{和}{わ}を, 四角形 OACD が平行四辺形になる点を C として, % \begin{align*} \vt{a}+\vt{b} = \overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}} = \overrightarrow{\mbox{OC}} \end{align*} % と定める。 また, \textbf{差} $\vt{a}-\vt{b}$ を, % \begin{align*} \vt{a}-\vt{b}=\vt{a}+(-\vt{b}) \end{align*} % と定める。 点 B から点 A に向かうベクトル $\overrightarrow{\mbox{BA}}$ について, $\overrightarrow{\mbox{BA}}=\overrightarrow{\mbox{OC}}$ であるから次が成り立つ。 % \begin{align*} \overrightarrow{\mbox{BA}} = \overrightarrow{\mbox{OA}}-\overrightarrow{\mbox{OB}} = \vt{a}-\vt{b} \end{align*} %

ベクトルの演算の性質

% $s$, $t$ を実数, $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ をベクトルとするとき, ベクトルの演算について次の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 交換法則: $\vt{a}+\vt{b}=\vt{b}+\vt{a}$ \item[(2)] 結合法則: $s(t\vt{a})=(st)\vt{a}$ \item[(3)] 結合法則: $(\vt{a}+\vt{b})+\vt{c}=\vt{a}+(\vt{b}+\vt{c})$ \item[(4)] 分配法則: $t(\vt{a}+\vt{b})=t\vt{a}+t\vt{b}$ \item[(5)] 分配法則: $(s+t)\vt{a}=s\vt{a}+t\vt{a}$ \end{enumerate} % %

ベクトルの成分

% 空間に座標が定められているとき, $x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の向きと同じ向きの単位ベクトルを, それぞれ $\vt{i}$, $\vt{j}$, $\vt{k}$ と表す。 $\vt{i}$, $\vt{j}$, $\vt{k}$ を空間の \ommindex{基本ベクトル}{きほんべくとる}という。 原点から点 A$(a_a,a_2,a_3)$ に向かうベクトルを 点 A の\ommindex{位置ベクトル}{いちべくとる}という。 点 A$(a_a,a_2,a_3)$ の位置ベクトル $\vt{a}$ は, 基本ベクトルを用いて, % \begin{align*} \vt{a}=a_1\,\vt{i}+a_2\,\vt{j}+a_3\,\vt{k} \end{align*} % と表すことができる。 $a_1$, $a_2$, $a_3$ をそれぞれ, ベクトル $\vt{a}$ の $x$ 成分, $y$ 成分, $z$ 成分 といい, これらをまとめてベクトル $\vt{a}$ の\ommindex{成分}{せいぶん}という。 $a_1$, $a_2$, $a_3$ を成分とするベクトルを % \begin{align*} \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right), \quad \left(a_1, a_2, a_3\right) \end{align*} % と表すこともある。

1次独立と1次従属

% $n$ 個のベクトル $\vt{a}_1$, $\vt{a}_2$, ..., $\vt{a}_n$ に対して, それらの定数倍の和 % \begin{align*} x_1\vt{a}_1+x_2\vt{a}_2+\cdots +x_n\vt{a}_n \end{align*} % を, $\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ の \ommindex{線形結合}{せんけいけつごう}または \ommindex{1次結合}{いちじけつごう}といい, 等式 % \begin{align*} x_1\vt{a}_1+x_2\vt{a}_2+\cdots +x_n\vt{a}_n=\vt{0} \quad \cdots \cdots \maru{1} \end{align*} % を\ommindex{線形関係式}{せんけいかんけいしき}または \ommindex{1次関係式}{いちじかんけいしき}という。 $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$ ならば, 線形関係式 \maru{1} は常にに成り立つ。 線形関係式 \maru{1} が $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$ の ときだけしか成り立たないとき, $\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ は \ommindex{線形独立}{せんけいどくりつ}または \ommindex{1次独立}{いちじどくりつ}であるという。 線形独立でないとき, すなわち, $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ のうち少なくとも1つが $0$ でないとき \maru{1} が成り立つとき, $\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ は \ommindex{線形従属}{せんけいじゅうぞく}または \ommindex{1次従属}{いちじじゅうぞく}であるという。 %