数学・工学事典

ベクトルの内積と外積

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内積

% ベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき, % \begin{align*} \vt{a}\bdot\vt{b} = \left|\vt{a}\right| \left|\vt{b}\right| \cos{\theta} \end{align*} % をベクトル $\vt{a}$ と $\vt{b}$ の \ommindex{内積}{ないせき}という。 $\vt{a}$, $\vt{b}$ が $\vt{a} = a_x\vt{i} + a_y\vt{j} + a_z\vt{k}$, $\vt{b} = b_x\vt{i} + b_y\vt{j} + b_z\vt{k}$ であるとき, $\vt{a}$, $\vt{b}$ の \ommindex{内積の成分表示}{ないせきのせいぶんひょうじ}は % \begin{align*} \vt{a}\,\bdot\vt{b} = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \end{align*} % となる。 %

内積の性質

% 任意のベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ と, 実数 $k$ に対して, 次の内積の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\vt{a\cdot a}\ge 0$, とくに, $\vt{a\cdot a}=0 \ \Longleftrightarrow \ \vt{a}=\vt{0}$ \item[(2)] $\vt{a\cdot b} = \vt{b\cdot a}$ \item[(3)] $\left(k\vt{a}\right)\,\bdot\,\vt{b} = \vt{a}\,\bdot\left(k\vt{b}\right) = k\left(\vt{a}\,\bdot\,\vt{b}\right)$ \item[(4)] $\vt{a}\,\bdot\, \left(\vt{b}+\vt{c}\right) = \vt{a}\,\bdot\,\vt{b} + \vt{a}\,\bdot\,\vt{c}$ \end{enumerate} % %

外積

% ベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき, 次の性質をもつ ベクトル $\vt{a}\times\vt{b}$ を, ベクトル $\vt{a}$ と $\vt{b}$ の \ommindex{外積}{がいせき}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\left|\vt{a}\times\vt{b}\right| = \left|\vt{a}\right| \left|\vt{b}\right| \left|\sin{\theta}\right|$ \item[(2)] $(\vt{a}\times\vt{b})\,\bdot\,\vt{a}=0$, $\quad$ $(\vt{a}\times\vt{b})\,\bdot\,\vt{b}=0$ \item[(3)] $\vt{a}\times\vt{b} \ne\vt{0}$ のとき, $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{a}\times\vt{b}$ は この順で右手系をなす。 \end{enumerate} % $\vt{a}$, $\vt{b}$ が $\vt{a} = a_x\vt{i} + a_y\vt{j} + a_z\vt{k}$, $\vt{b} = b_x\vt{i} + b_y\vt{j} + b_z\vt{k}$ であるとき, $\vt{a}$, $\vt{b}$ の \ommindex{外積の成分表示}{がいせきのせいぶんひょうじ}は % \begin{align*} \vt{a}\times\vt{b} &= \left|\begin{array}{ccc} \vt{i} & a_x & b_x \\ \vt{j} & a_y & b_y \\ \vt{k} & a_z & b_z \end{array}\right| \\ &= \left|\begin{array}{cc} a_y & b_y \\ a_z & b_z\end{array}\right| \vt{i} - \left|\begin{array}{cc} a_x & b_x \\ a_z & b_z\end{array}\right| \vt{j} + \left|\begin{array}{cc} a_x & b_x \\ a_y & b_y\end{array}\right| \vt{k} \end{align*} % となる。 %

外積の性質

% 任意のベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ と, 実数 $k$ に対して, 次の外積の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\vt{a}\times\vt{b} =\vt{0} \ \Longleftrightarrow \ \vt{a}\,/\!/\,\vt{b}$ \item[(2)] $\vt{a}\times\vt{b} = -\vt{b}\times\vt{a}$ \item[(3)] $\left(k\vt{a}\right)\times\vt{b} = \vt{a}\times\left(k\vt{b}\right) = k\left( \vt{a}\times\vt{b} \right)$ \item[(4)] $\vt{a}\times \left(\vt{b}+\vt{c}\right) = \vt{a}\times\vt{b} + \vt{a}\times\vt{c}$ \end{enumerate} %