三角形
%
通常,
$\bigtriangledown\text{ABC}$ を扱うときは,
各頂点の内角の大きさを,
頂点と同じアルファベットを用いて
%
\begin{align*}
\angle\text{A}=A
, \quad
\angle\text{B}=B
, \quad
\angle\text{C}=C
\end{align*}
%
と表す。
また,
各頂点の対辺の長さを,
頂点と同じアルファベットの小文字を用いて
%
\begin{align*}
\text{BC}=a
, \quad
\text{CA}=b
, \quad
\text{AB}=c
\end{align*}
%$$,
と表す。
以下,
この項目ではこの記号を使う。
%
正弦定理
%
三角形の外接円 (3つの頂点を通る円) の半径を $R$ とするとき,
%
\begin{align*}
\frac{a}{\sin{A}}
=
\frac{b}{\sin{B}}
=
\frac{c}{\sin{C}}
=
2R
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{正弦定理}{せいげんていり}という。
%
余弦定理
%
角 $C=90^{\circ}$ の場合には,
三平方の定理
%
\begin{align*}
c^2=a^2+b^2
\end{align*}
%
が成り立つ。
$C$ がどんな大きさであっても,
%
\begin{align*}
c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}
\end{align*}
%
が成り立つ。
$C=90^{\circ}$ のとき $\cos{C}=0$ であるから,
三平方の定理をなる。
$a$, $b$, $c$ を入れ替えれば,
任意の三角形について
%
\begin{align*}
a^2
&=b^2+c^2-2bc\cos{A}
\\
b^2
&=c^2+a^2-2ca\cos{B}
\\
c^2
&=a^2+b^2-2ab\cos{C}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{余弦定理}{よげんていり}という。
これらは辺の長さを求める公式であるが,
角の大きさを求める場合には,
次の形で用いられる。
%
\begin{align*}
\cos{A}
&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\\
\cos{B}
&=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}
\\
\cos{C}
&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\end{align*}
%
%
三角形の面積
%
三角形の面積を $S$ とすれば
%
\begin{align*}
S
=
\frac{1}{\,2\,}ab\sin{C}
=
\frac{1}{\,2\,}bc\sin{A}
=
\frac{1}{\,2\,}ca\sin{B}
\end{align*}
%
が成り立つ。
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ヘロンの公式
%
三角形の面積 $S$ は,
辺の長さだけを用いて表すことができる。
$s=a+b+c$ とするとき
%
\begin{align*}
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{ヘロンの公式}{へろんのこうしき}という。
%