領域
%
$xy$ 平面上の点 $(x,y)$ に複素数 $x+iy$ を対応させた平面を
\ommindex{複素平面}{ふくそへいめん}または
\ommindex{ガウス平面}{がうすへいめん}という。
複素平面上の点集合 D に含まれる任意の2点が,
D に含まれる曲線によって結ぶことができるとき,
D は\ommindex{連結}{れんけつ}であるという。
複素平面上の点集合 D に対して,
点 P を中心とするどんな小さな円を描いても,
その円の内部に D の点とそれ以外の点が含まれてしまうとき,
点 P は D の\ommindex{境界}{きょうかい}であるという。
その境界の点をすべて含む
点集合を\ommindex{閉集合},
その境界のどんな点も含まない
点集合を\ommindex{開集合}{かいしゅうごう}という。
連結な開集合を\ommindex{領域}{りょういき}という。
%
複素関数
%
複素平面上の領域 D の点 $z=x+iy$ に,
複素数 $w=u+iv$ を対応させる規則を,
D を\ommindex{定義域}{ていぎいき}とする
\ommindex{複素関数}{ふくそかんすう}といい,
$w=f(z)$ のように表す。
このとき,
$z$ を\ommindex{独立変数}{どくりつへんすう},
$w$ を\ommindex{従属変数}{じゅうぞくへんすう}という。
複素関数に対して,
独立変数, 従属変数がともに実数である関数を
\ommindex{実関数}{じつかんすう}という。
複素関数では,
1つの複素数 $z=x+iy$ に対して,
複数の複素数を対応させる関数を扱う場合がある。
このような関数を\ommindex{多価関数}{たかかんすう}という。
これに対して,
1つの複素数 $z=x+iy$ にただ1つの複素数を対応させる関数を
\ommindex{1価関数}{いっかんかんすう}という。
複素平面上の点 $z$ が点 $\alpha$ とは異なる点をとりながら
点 $\alpha$ に限りなく近づいていくことを,
$z\to \alpha$ と表す。
$z\to \alpha$ のとき,
その近づき方によらず $f(z)$ が複素数 $\beta$ に限りなく近づいていくならば,
$f(z)$ は $\beta$ に\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい,
%
\begin{align*}
\lim_{z\to \alpha}f(z)=\beta
\quad \mbox{または} \quad
f(z)\to \beta\quad (z\to\alpha)
\end{align*}
%
などと表す。点 $\alpha$ を,
${z\to \alpha}$ のときの $f(z)$ の\ommindex{極限値}{きょくげんち}という。
点 $\alpha$ を含む領域で定義された複素関数 $f(z)$ について,
極限値 $\displaystyle\lim_{z\to \alpha}f(z)$ が存在して,
%
\begin{align*}
\lim_{z\to \alpha}f(z)=f(\alpha)
\end{align*}
%
を満たすとき,
$f(z)$ は点 $\alpha$ で\ommindex{連続}{れんぞく}であるという。
$f(z)$ が領域 D のすべての点で連続であるとき,
$f(z)$ は領域 D で連続であるという。
%
正則関数
%
複素関数 $f(z)$ について,
領域 D に含まれる点 $\alpha$ と複素数 $\varDelta{z}$ に対して,
極限値
%
\begin{align*}
\lim_{\varDelta{z}\to 0}
\frac{f(\alpha+\varDelta{z})-f(\alpha)}{\varDelta{z}}
\end{align*}
%
が存在するとき,
$f(z)$ は点 $\alpha$ で\ommindex{微分可能}{びぶんかのう}であるという。
このとき,
この極限値を $f(z)$ の点 $\alpha$ における
\ommindex{微分係数}{びぶんけいすう}といい,
$f'(\alpha)$ と表す。
点 $z=\alpha$ を含むある領域のすべての点で $f(z)$ がであるとき,
$f(z)$ は点 $\alpha$ でであるという。
また,
領域 D に含まれるすべての点で微分可能であるとき,
$f(z)$ は領域 D で\ommindex{正則}{せいそく}であるという。
このとき,
$f(z)$ を領域 D 上の\ommindex{正則関数}{せいそくかんすう}という。
領域 D 上の正則関数 $w=f(z)$ に対して,
D 内の点 $\alpha$ に微分係数 $f'(\alpha)$ を対応させる関数を,
$w=f(z)$ の\ommindex{導関数}{どうかんすう}といい
%
\begin{align*}
w', \quad f'(z), \quad \frac{dw}{dz}, \quad \frac{df}{dz}
\end{align*}
%
と表す。
この記号を用いると,
正則関数 $w=f(z)$ の導関数は,
次のように表される。
%
\begin{align*}
f'(z)
=\lim_{\varDelta{z}\to 0}\frac{f(z+\varDelta{z})-f(z)}{\varDelta{z}}
\end{align*}
%
複素関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ と表されているとする。
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ が正則であれば,
$u(x,y)$,
$v(x,y)$ は偏微分可能で
%
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},
\quad
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}
\end{align*}
%
を満たす。
これらの式を\textbf{コーシー・リーマンの関係式}という。
$u(x,y)$,
$v(x,y)$ が偏微分可能で,
すべての偏導関数が連続であるとする。
このとき,
$u(x,y)$,
$v(x,y)$ がコーシー・リーマンの関係式を満たしていれば,
$w=u(x,y)+iv(x,y)$ は正則で,
%
\begin{align*}
\frac{dw}{dz}
=
\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}
\end{align*}
%
が成り立つ。
%
いろいろな正則関数
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$n$ を自然数とするとき,
$w=z^n$ は全平面で正則であり,
その導関数について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\left(z^n\right)'
=
nz^{n-1}
\end{align*}
%
\item[(2)]
$w=\frac{1}{z}$ は $z=0$ を除く領域で正則であり,
その導関数について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\left(\frac{1}{z}\right)'
=
-\frac{1}{z^2}
\end{align*}
%
\item[(3)]
複素数 $z=x+iy$ に対して,
%
\begin{align*}
e^z
=
e^{x}\left(\cos{y}+i\sin{y}\right)
\end{align*}
%
と定める。
$w=e^{z}$ を(複素関数の)\ommindex{指数関数}{しすうかんすう}という。
このとき,
$w=e^{z}$ は全平面で正則であり,
その導関数について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\left(e^z\right)'
=
e^z
\end{align*}
%
\item[(4)]
複素数 $z=x+iy$ に対して,
%
\begin{align*}
\cos{z}
=
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},
\quad
\sin{z}
=
\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},
\quad
\tan{z}
=
\frac{e^{z}-e^{-iz}}{i(e^{z}+e^{-iz})}
\end{align*}
%
と定める。
これらの関数を(複素関数の)\ommindex{三角関数}{さんかくかんすう}という。
このとき,
$w=\cos{z}$,
$w=\sin{z}$ は全平面で,
$w=\tan{z}$ は $z=n\pi+\frac{\pi}{2}$ ($n$ は整数) を除く領域で
正則であり,
その導関数について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\left(\cos{z}\right)'
=
-\sin{z},
\quad
\left(\sin{z}\right)'
=
\cos{z},
\quad
\left(\tan{z}\right)'
=
\frac{1}{\cos^2{z}}
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
