数学・工学事典

ローラン展開

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複素級数

% $a$, $c_n$ を複素数の定数とするとき, 複素数 $z$ についての級数 % \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}c_n (z-a)^n =c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+\cdots+c_n(z-a)^n+\cdots \end{align*} % を $z=a$ を中心とする\ommindex{べき級数}{べききゅうすう}という。 このべき級数が, $\left|z-a\right|<R$ のときに収束し, $\left|z-a\right|>R$ のとき発散するような正の数 $R$ が存在するとき, $R$ をこのべき級数の\ommindex{収束半径}{しゅうそくはんけい}という。 また, 任意の複素数について収束するときには, 収束半径は無限大であるといい, $R=\infty$ とかく。 このとき, 円 $\left|z-a\right|=R$ を\ommindex{収束円}{しゅうそくえん}という。 級数 \maru{1} は収束円の内部の任意の $z$ について収束する。

テイラーの定理

% 関数 $f(z)$ が, 点 $a$ を中心とする半径 $R$ の円 C および その内部を含む領域で正則であるとする。 このとき, 円 C の内部の任意の点 $z$ について, 次のように表すことができる。 % \begin{align*} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n \end{align*} % これを\ommindex{テイラーの定理}{ていらーのていり}といい, この式の右辺を, $z=a$ を中心とする $f(z)$ の \ommindex{テイラー展開}{ていらーてんかい}という。 %

マクローリン展開

% $z=0$ を中心とする $f(z)$ のテイラー展開を \ommindex{マクローリン展開}{まくろーりんてんかい}という。 いくつかの関数のマクローリン展開と収束半径を挙げる。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\cdots \quad (R=1)$ \item[(2)] $\displaystyle e^{z}=1+\frac{z}{\,1!\,}+\frac{z^2}{\,2!\,}+\frac{}{\,3!\,}+\cdots \quad (R=\infty)$ \item[(3)] $\displaystyle \sin{z}=\frac{z}{\,1!\,}-\frac{z^3}{\,3!\,}+\frac{z^5}{\,5!\,}-\frac{z^7}{\,7!\,}+\cdots \quad (R=\infty)$ \item[(4)] $\displaystyle \cos{z}=1-\frac{z^2}{\,2!\,}+\frac{z^4}{\,4!\,}-\frac{z^6}{\,6!\,}+\cdots \quad (R=\infty)$ \end{enumerate} % %

ローラン展開

% 関数 $f(z)$ が $z=a$ で正則でないとき, $z=a$ を $f(z)$ の\ommindex{特異点}{とくいてん}という。 $z=a$ は $f(z)$ の特異点であるが, 領域 $0<\left|z-a\right|<R$ では $f(z)$ が正則であるような 正の数 $R$ があるとき, 点 $z=a$ を $f(z)$ の\ommindex{孤立特異点}{こりつとくいてん}という。 関数 $f(z)$ が領域 $0<\left|z-a\right|<R$ で正則であるとき, この領域に含まれる任意の $z$ に対して, % \begin{align*} f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n} + \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n \end{align*} % が成り立つ。 ここで係数 $c_n$ は, $r$ を $0<r<R$ を満たす任意の数として % \begin{align*} c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\left|\zeta-a\right|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} \,d\zeta \end{align*} % である ($r$ をどのように選んでも右辺の積分の値は変化しない)。 これを, $z=a$ を中心とする $f(z)$ の \ommindex{ローラン展開}{ろーらんてんかい}という。 $z=a$ を中心とする $f(z)$ をローラン展開について, 負のべきを含む項 % \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n} \end{align*} % を, $f(z)$ の\ommindex{主要部}{しゅようぶ}という。 $f(z)$ の孤立特異点 $z=a$ は, $z=a$ を中心とする $f(z)$ のローラン展開の主要部の状態によって, 次のように分類することができる。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 主要部がないとき, $z=a$ は $f(z)$ の \ommindex{除去可能な特異点}{じょきょかのうなとくいてん}であるという。 \item[(2)] 主要部が $0$ ではないが, 有限個の項からなるとき, すなわち, % \begin{align*} \sum_{n=1}^{m}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}, \quad c_{-m}\ne 0 \end{align*} % であるような自然数 $m$ があるとき, $z=a$ は $f(z)$ の \ommindex{位数}{いすう} $m$ の\ommindex{極}{きょく} または $m$ 位の極であるという。 とくに, % \begin{align*} \lim_{z\to a}(z-a)^m f(z)\ne 0 \end{align*} % であるような自然数 $m$ があれば, $z=a$ は $f(z)$ の位数 $m$ の極である。 \item[(3)] 主要部が無限個の項を含むとき, $z=a$ は $f(z)$ の \ommindex{真性特異点}{しんせいとくいてん}であるという。 \end{enumerate} % %

留数定理

% $z=a$ が $f(z)$ の孤立特異点であるとする。 このとき % \begin{align*} c_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\left|\zeta-a\right|=r}f(\zeta)\,d\zeta \end{align*} % を, 関数 $f(z)$ の $z=a$ における\ommindex{留数}{りゅうすう}といい, \def\Res{\mathop{\rm Res}\nolimits} % \begin{align*} \Res\left[f(z),a\right] \end{align*} % と表す。 $z=a$ が $f(z)$ の極であり, その位数 $m$ が分かれば, $z=a$ における $f(z)$ の留数は % \begin{align*} \Res\left[f(z),a\right] = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left\{(z-a)^m f(z)\right\} \end{align*} % で与えられる。 関数 $f(z)$ が単一閉曲線 C をその内部で, 有限個の点 $a_k$ $(k=1,2,\ldots n)$ を除いて正則であるとき, C に沿う $f(z)$ の積分について % \begin{align*} \int_{\text{C}}f(z)\,dz = \sum_{k=1}^{n}\Res\left[f(z),a_k\right] \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{留数定理}{りゅうすうていり}という。 %