数学・工学事典

複素積分

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複素積分

% $x(t)$, $y(t)$ が連続であるとき, 複素平面上の点 % \begin{align*} z(t)=x(t)+i\,y(t) \quad (\alpha\le t\le \beta) \end{align*} % は複素平面上に曲線 C を描く。 この曲線 C を $z=z(t)$ と表す。 $\alpha\le t\le \beta$ を曲線 C の\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。 このとき, $z(\alpha)$ を\ommindex{始点}{してん}, $z(\beta)$ を\ommindex{終点}{しゅうてん}といい, $t$ の増加に伴って点 $z(t)$ が移動する向きを曲線 C の \ommindex{向き}{むき}という。 また, 曲線 C と逆向きの曲線を $-{\text{C}}$ と表す。 $x(t)$, $y(t)$ が微分可能であるとき, 連続な複素関数 $f(z)$ に対して, % \begin{align*} \int_{\text{C}}f(z)\,dz = \int_{\alpha}^{\beta}f(z(t))\frac{dz}{dt}\,dt \end{align*} % を, 曲線 ${\text{C}}:z(t)=x(t)+i\,y(t)$ に沿う $f(z)$ の \ommindex{複素積分}{ふくそせきぶん}という。 複素積分に対して, 実関数の積分を\ommindex{実積分}{じつせきぶん}という。 以下, 複素積分を単に積分という。 % %

コーシーの積分定理

% 終点と始点が一致する曲線を\ommindex{閉曲線}{へいきょくせん}という。 また, それ自身と交差しない閉曲線を \ommindex{単一閉曲線}{たんいつへいきょくせん}という。 単一閉曲線が, その内部を左手に見て進むとき, 単一閉曲線は\ommindex{正の向き}{せいのむき}ともつという。 以下, 単一閉曲線 C は常に正の向きをもつとする。 複素関数 $f(z)$ が単一閉曲線 C およびその内部を含む領域で正則であるとき, % \begin{align*} \int_{\text{C}}f(z)\,dz=0 \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{コーシーの積分定理}{こーしーのせきぶんていり}という。 単一閉曲線 C の内部に, 互いに外部にある単一閉曲線 ${\text{C}}_1$, ${\text{C}}_2$, \ldots , ${\text{C}}_n$ があるとする。 このとき, $f(z)$ が, C の内部で ${\text{C}}_1$, ${\text{C}}_2$, \ldots , ${\text{C}}_n$ の外部である領域 D, およびその境界線上で正則であるとき, % \begin{align*} \int_{\text{C}}f(z)\,dz = \sum_{k=1}^{n}\int_{\text{C}_k}f(z)\,dz \end{align*} % が成り立つ。 この定理はコーシーの積分定理によって導かれる。 %

コーシーの積分表示

% 曲線 C を単一閉曲線とする。 関数 $f(z)$ が C およびその内部を含む領域で正則であるとき, C の内部の任意の点 $a$ に対して, % \begin{align*} f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\text{C}}\frac{f(z)}{z-a}\,dz \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{コーシーの積分表示}{こーしーのせきぶんひょうじ}という。 関数 $f(z)$ が領域 D で正則であるとき, $f(z)$ は D で何回でも微分可能である。 さらに, 単一閉曲線 {\text{C}} その内部を含む領域で正則であるとき, {\text{C}} の内部の任意の点 $a$ に対して % \begin{align*} f^{(n)}(a) =\frac{n!}{2\pi i}\int_{\text{C}}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz \quad (n=0,1,2,\cdots) \end{align*} が成り立つ。 これを\ommindex{グルサの公式}{ぐるさのこうしき}という。 %