【方針】
\item $C_{\rm{A}}$, $C_{\rm{B}}$ はともに反応時間$t$の1変数関数と考える.
$C_{\rm{A}}^{\,0}$ は定数である.
\bigskip
\item 反応 A $\to$ B の速度式は $-\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{dt}=k_1C_{\rm{A}}$ で与えられるので, このことを使って, $t$ と $C_{\rm{B}}$ についての微分方程式を作る.
\bigskip
【解答】
反応 A $\to$ B の速度式は $-\displaystyle\frac{dC_{\rm{A}}}{dt}=k_1C_{\rm{A}}$ で与えられるので,
$C_{\rm{A}}=C_{\rm{A}}^{\,0}e^{-k_1t}$ となる.
(1) に代入して,
$$\displaystyle\frac{dC_{\rm{B}}}{dt}=k_1C_{\rm{A}}^{\,0}e^{-k_1t}-k_2C_{\rm{B}}$$
$$\displaystyle\frac{dC_{\rm{B}}}{dt}+k_2C_{\rm{B}}=k_1C_{\rm{A}}^{\,0}e^{-k_1t}$$
1階線形微分方程式の解の公式より,
\begin{align*}
C_{\rm{B}}&=e^{-\int k_2\,dt}\left(\displaystyle\int e^{\int k_2\,dt}k_1C_{\rm{A}}^{\,0}e^{-k_1t}\,dt+C\right)\\
&=e^{-k_2t}\left(k_1C_{\rm{A}}^{\,0}\int e^{k_2t}e^{-k_1t}\,dt+C\right)\\
&=e^{-k_2t}\left(k_1C_{\rm{A}}^{\,0}\int e^{(k_2-k_1)t}\,dt+C\right)\\
&=e^{-k_2t}\left(\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}e^{(k_2-k_1)t}+C\right)\\
&=\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}e^{-k_1t}+Ce^{-k_2t}
\end{align*}
となる. ($C$は任意定数)
$t=0$ のとき, $C_{\rm{B}}=0$ であるから,
$0=\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}+C$ より, $C=-\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}$.
したがって,
$$C_{\rm{B}}=\displaystyle\frac{k_1C_{\rm{A}}^{\,0}}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right)$$
を得る.
%=image:/media/2014/08/31/140941110276165500.jpg:
\bigskip
【注意】
\item 1階線形微分方程式 $\displaystyle\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ の解は
$$y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\displaystyle\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C\right)$$
で与えられる. ($C$は任意定数)
\bigskip
\item 初期条件は「$t=0$ のとき, $C_{\rm{B}}=0$」となる.
\bigskip
\item $a^{r}a^s=a^{r+s}$ $\qquad$ (指数法則)
\bigskip
\item $\displaystyle\int {e^{ax+b}}\,dx=\displaystyle\frac1ae^{ax+b}+C$ $\qquad$ (不定積分)